怎样画箱线图、读箱线图并求四分位距

成绩单上写着“全班成绩的中位数是 73 分”，旁边还有一个小图：一个箱子，两边各伸出一条线。这个图就是箱线图，也叫盒须图，决定箱子长短的数就是四分位距。只要知道要找哪五个数，用一支铅笔大约五分钟就能画出来。

箱线图表示什么：五数概括

箱线图用五个数表示一组数据的中心在哪里、数据分散得有多开。OpenStax《Introductory Statistics 2e》写道：箱线图由五个值画成，即最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值。这五个数合起来叫五数概括。

四分位数把排好序的数据分成个数大致相等的四部分：Q1 是下半部分的中间，中位数 M 是全部数据的中间，Q3 是上半部分的中间。如果中位数有点生疏，平均数、中位数和众数讲解讲了数据个数是奇数和偶数时分别怎样求。

在国内，箱线图是初中的内容。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》中，数学课程标准第四学段（7～9年级）的“抽样与数据分析”要求学生“会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义”。在美国，箱线图是六年级的内容：共同核心标准 6.SP.B.4要求学生在数轴上用点图、直方图和箱线图表示数据，6.SP.B.5c 要求学生用四分位距等量来描述数据的离散程度。

有离群值时，为什么四分位距比极差更好用

四分位距衡量的是中间一半数据的离散程度，所以一个极端值拉不开它。OpenStax 第 2.3 节把四分位距描述为表示中间一半、也就是中间 50% 数据离散程度的数，公式是四分位距 = Q3 − Q1。

看 11 个考试成绩：52、61、64、68、70、73、75、78、80、84、95。极差是 95 − 52 = 43，四分位距是 80 − 64 = 16。如果有一位同学发挥失常，考了 31 分而不是 52 分，极差就跳到 95 − 31 = 64，而 Q1、中位数和 Q3 仍然是 64、73 和 80，所以四分位距还是 16。

怎样一步一步画箱线图

画箱线图分六步，下面还用这 11 个考试成绩。

1. 排序。 把数据从小到大写出来：52、61、64、68、70、73、75、78、80、84、95。一共 11 个。
2. 求中位数。 11 个数的中位数是第 6 个数，因为它两边各有 5 个数。中位数是 73。
3. 求 Q1 和 Q3。 Q1 是下半部分 52、61、64、68、70 的中位数，是 64。Q3 是上半部分 75、78、80、84、95 的中位数，是 80。四分位距是 80 − 64 = 16。
4. 写出最小值和最大值。 最小值是 52，最大值是 95，所以五数概括是 52、64、73、80、95。
5. 画刻度。 画一条能包含所有数据的数轴，这里从 50 到 100，每格 5 或 10，间隔要相等。读这条数轴和读尺子上的刻度是同一种本事。
6. 画箱子和须。 从 64 到 80 画一个箱子，在 73 处画一条竖线。再从 64 向左画一条须到 52，从 80 向右画一条须到 95。

画完以后数一数，检查四分位数。Q1 以下有两个数（52 和 61），Q1 和中位数之间有两个（68 和 70），中位数和 Q3 之间有两个（75 和 78），Q3 以上有两个（84 和 95）。四段里的个数相等，说明四分位数求对了。

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最容易出错的地方：中位数算不算进两半

数据个数是奇数时，中位数要不要算进下半部分和上半部分，各家说法不一样。美国共同核心标准的术语表不算进去：它把第一四分位数定义为小于 M 的那些数的中位数，脚注也承认计算四分位数的方法有很多种。课程标准例 86 的做法是先用中位数把数据分成两部分，再分别求两部分的中位数，得到第 25 和第 75 百分位数；那个例子有 12 个数，是偶数个。本文用的是中位数不算进两半的学校方法。

如果把中位数算进去，下半部分就是 52、61、64、68、70、73，Q1 = (64 + 68) ÷ 2 = 66，上半部分得到 Q3 = (78 + 80) ÷ 2 = 79，四分位距缩小到 13。电子表格的 QUARTILE.INC 函数和很多计算器给出的就是这组数，所以在判答案错之前，先问清楚老师或课本用的是哪种方法。

极差、四分位距、平均绝对偏差和标准差的比较

极差、四分位距、平均绝对偏差和标准差都衡量离散程度，但各看数据的不同部分。极差只用两个极端值，四分位距用中间一半，另外两个通过每个数到平均数的距离用上所有数据。

该选哪个统计量

四分位距和中位数搭配使用，平均绝对偏差和平均数搭配使用。数据里有离群值时，比如一次考试中缺考的同学记了 0 分，就用中位数和四分位距；数据没有极端值时，就用平均数和平均绝对偏差。

怎样看箱线图、比较两个箱线图

箱线图要从中间往外看：先看中位数那条线，再看箱子，最后看须。两条须和箱子的左右两半，这四部分每部分大约有四分之一的数据。

箱线图最有用的时候，是把两个画在同一个刻度上。NIST/SEMATECH 统计方法电子手册称箱线图是表达数据位置和变化信息的极好工具，并说箱子代表中间 50% 的数据，也就是数据的“主体”。

A 班的五数概括是 52、64、73、80、95，B 班是 58、70、76、82、90。B 班的中位数高 3 分，箱子长 12 分，A 班是 16 分；B 班的极差是 32，A 班是 43。B 班的成绩稍高一些，而且整齐得多。

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规则：先比中位数，再比箱子的长度

比较两个箱线图有固定的顺序：先比中位数，再比箱子的长度，最后看须。中位数告诉你哪一组的一般水平更高，箱子的长度告诉你哪一组更整齐。

差距有多大和差在哪个方向一样重要。美国共同核心 7.SP.B.3要求七年级学生把两组数据分布的重叠程度表示成某个离散程度量的倍数来判断。中位数相差 3 分，是 B 班四分位距 12 的四分之一，而且两个箱子在 70 到 80 之间重叠，所以两个班的差别很小。

怎样检查有没有学会箱线图

做五道不看笔记的小题，就能看出孩子是不是真的懂箱线图。

• 五个数： 对于 3、5、6、8、10、11、15，能不能说出五数概括 3、5、8、11、15，四分位距是 11 − 5 = 6？
• 偶数个数据： 对于 2、4、5、7、9、10、12、15，能不能求出中位数 (7 + 9) ÷ 2 = 8、Q1 = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5 和 Q3 = (10 + 12) ÷ 2 = 11？
• 读图： 看一个箱线图，能不能说出箱子里有几分之几的数据？答案是大约一半。
• 比较： 给两个箱线图，能不能各用一句话说出哪一组中位数更高、哪一组更整齐？
• 解释： 能不能说清楚，为什么最小值大幅下降时，四分位距几乎不动？

用真实数据做五分钟测试

五分钟测试用的是自己这一周的数，比如 11 次小测验的分数，或者 9 天的步数（以千步为单位）。排序，求五数概括，画图，再数一数每段里的个数。

评分时先看方法，再看计算。四分位数求对了，减法却错了，说明问题出在基本运算上，六年级数学游戏或成人数学游戏能把计算速度练回来。箱线图的各部分也可以用百分数来读：箱子里大约 50%，每条须上大约 25%，百分数怎么算讲了这种换算。

画箱线图的常见错误和特殊情况

画错的箱线图大多来自四种错误，每种都有简单的改法。

• 错误：忘了排序。 没排序的数据，中间那个数是随便一个数。先排序。
• 错误：把长须看成数据多。 每条须上都大约有四分之一的数据，须长只说明这些数分散得开。
• 错误：刻度不均匀。 50、60、80、100 这样的刻度会把图的某些部分拉长。间隔要相等，而且从最小值附近开始，不必从 0 开始。
• 错误：两种四分位数方法混用。 下半部分算进中位数、上半部分不算，四分位距就错了。选定一种方法，两半都用它。

特殊情况：离群值和 1.5 倍四分位距的界线

离群值是离其他数据很远的数，1.5 倍四分位距的规则可以用来检验。OpenStax 写道：一个数如果比第一四分位数小 1.5 倍四分位距以上，或比第三四分位数大 1.5 倍四分位距以上，就怀疑它是可能的离群值；还补充说，可能的离群值总是需要进一步调查。

用把 52 换成 31 的那组成绩：Q1 是 64，Q3 是 80，四分位距是 16。1.5 × 16 = 24，下界是 64 − 24 = 40，上界是 80 + 24 = 104。31 小于 40，所以是可能的离群值，没有数大于 104。

在画了界线的箱线图上，离群值用 31 处的一个点表示。NIST 说，这时须只画到大于下界的最小数据点，所以左边的须停在 61。

箱线图检查清单和下一步

• 排序并计数： 把数据从小到大排好，写下一共有几个。
• 中位数： 找出中间的数；偶数个数据时，取中间两个数的平均数。
• 四分位数： 分别求两半的中位数；奇数个数据时，中位数本身不算进任何一半。
• 四分位距和界线： 算出 Q3 − Q1，再检查有没有超出 1.5 倍四分位距的数。
• 画图： 用间隔相等的刻度，从 Q1 到 Q3 画箱子，在中位数处画线，须画到两端的极值。
• 检查： 数一数每段里有几个数，四个数应该相等或几乎相等。

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