Como fazer um diagrama de caixa (boxplot), ler o gráfico e calcular a amplitude interquartil

Um boletim informa que a mediana da turma foi 73 e mostra um gráfico pequeno com uma caixa e duas linhas saindo dela. Esse gráfico é um diagrama de caixa, também chamado de boxplot ou diagrama de caixa e bigodes, e o número que define a largura da caixa é a amplitude interquartil. Você consegue desenhar um com lápis em uns cinco minutos, depois que sabe quais cinco números procurar.

O que o diagrama de caixa mostra: o resumo dos cinco números

O diagrama de caixa mostra onde fica o meio de um conjunto de dados e quanto os valores estão espalhados, usando cinco números. O livro OpenStax Introductory Statistics 2e lista esses números: "um boxplot é construído com cinco valores: o valor mínimo, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e o valor máximo". Juntos, eles formam o resumo dos cinco números.

Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes de tamanho quase igual: Q1 é o meio da metade de baixo, a mediana M é o meio do conjunto inteiro e Q3 é o meio da metade de cima. Se a mediana precisa de uma revisão, o guia de média, mediana e moda mostra como achá-la com uma quantidade par ou ímpar de valores.

Nos Estados Unidos, o boxplot é conteúdo do 6º ano. O padrão 6.SP.B.4 do Common Core pede que o aluno "represente dados numéricos em gráficos sobre a reta numérica, incluindo gráficos de pontos, histogramas e boxplots", e o 6.SP.B.5c pede medidas de "variabilidade (amplitude interquartil e/ou desvio médio absoluto)". No Brasil, a BNCC relaciona as medidas de tendência central com "a dispersão de dados, indicada pela amplitude" no 8º ano (EF08MA25) e pede no Ensino Médio que o aluno compare dados com "histograma, de caixa (box-plot), de ramos e folhas" (EM13MAT407).

Por que a amplitude interquartil ganha da amplitude quando há um valor discrepante

A amplitude interquartil mede a dispersão da metade central dos dados, então um único valor extremo não consegue esticá-la. A seção 2.3 do OpenStax descreve a AIQ como "um número que indica a dispersão da metade central, ou dos 50% centrais, dos dados", e a fórmula é AIQ = Q3 − Q1.

Pegue 11 notas de prova: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 e 95. A amplitude é 95 − 52 = 43 e a AIQ é 80 − 64 = 16. Se um aluno teve um dia ruim e tirou 31 em vez de 52, a amplitude salta para 95 − 31 = 64, enquanto Q1, a mediana e Q3 continuam 64, 73 e 80, então a AIQ continua 16.

Como fazer um diagrama de caixa passo a passo

O diagrama de caixa leva seis passos, mostrados aqui com as mesmas 11 notas.

1. Ordene os dados. Escreva os valores do menor para o maior: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. São 11 valores.
2. Ache a mediana. Com 11 valores, a mediana é o 6º valor, porque ficam 5 valores de cada lado. A mediana é 73.
3. Ache Q1 e Q3. Q1 é a mediana da metade de baixo, 52, 61, 64, 68, 70, que é 64. Q3 é a mediana da metade de cima, 75, 78, 80, 84, 95, que é 80. A amplitude interquartil é 80 − 64 = 16.
4. Anote o mínimo e o máximo. O mínimo é 52 e o máximo é 95, então o resumo dos cinco números é 52, 64, 73, 80, 95.
5. Desenhe uma escala. Desenhe uma reta numérica que cubra todos os valores, aqui de 50 a 100, com passos iguais de 5 ou de 10. Ler essa escala é a mesma habilidade de ler uma régua.
6. Desenhe a caixa e os bigodes. Desenhe uma caixa de 64 a 80 com um traço vertical no 73. Depois desenhe um bigode do 64 para a esquerda até o 52 e outro do 80 para a direita até o 95.

A segunda passada confere os quartis contando. Duas notas ficam abaixo de Q1 (52 e 61), duas entre Q1 e a mediana (68 e 70), duas entre a mediana e Q3 (75 e 78) e duas acima de Q3 (84 e 95). Contagens iguais nos quatro intervalos querem dizer que os quartis estão certos.

Jogue grátis no navegadorAchar a média4.º–6.º ano

A parte em que todo mundo erra: a mediana dentro ou fora das metades

Com uma quantidade ímpar de valores, nem todos concordam se a mediana entra na metade de baixo e na de cima. O Common Core deixa a mediana de fora: o glossário define o primeiro quartil como "a mediana dos valores menores que M", e uma nota de rodapé admite que "muitos métodos diferentes de calcular quartis estão em uso". Este texto usa o método escolar, que exclui a mediana.

Se você incluir a mediana, a metade de baixo vira 52, 61, 64, 68, 70, 73, então Q1 = (64 + 68) ÷ 2 = 66, e a metade de cima dá Q3 = (78 + 80) ÷ 2 = 79. A AIQ encolhe para 13. A função QUARTIL.INC das planilhas e muitas calculadoras devolvem esses valores, então confira qual método o professor ou o livro usa antes de dizer que uma resposta está errada.

Amplitude, amplitude interquartil, desvio médio absoluto e desvio padrão

A amplitude, a amplitude interquartil, o desvio médio absoluto e o desvio padrão medem a dispersão, mas cada um olha para uma parte diferente dos dados. A amplitude usa só os dois extremos, a AIQ usa a metade central e os outros dois usam todos os valores pela distância de cada um até a média.

Qual medida de dispersão escolher

A amplitude interquartil é a medida que combina com a mediana, e o desvio médio absoluto é o que combina com a média. Use a mediana e a AIQ quando os dados têm um valor discrepante, como uma prova em que um aluno faltou e ficou com 0, e a média com o desvio médio absoluto quando os valores não têm extremos.

Como ler e comparar dois boxplots

O boxplot se lê do meio para fora: primeiro o traço da mediana, depois a caixa, depois os bigodes. Cada uma das quatro partes, os dois bigodes e as duas metades da caixa, guarda cerca de um quarto dos valores.

Os boxplots mostram o seu valor quando você põe dois na mesma escala. O NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods diz que eles são "uma ferramenta excelente para transmitir informações de posição e de variação em conjuntos de dados" e que a caixa "representa os 50% centrais dos dados, o 'corpo' dos dados".

A turma A tem o resumo dos cinco números 52, 64, 73, 80, 95, e a turma B tem 58, 70, 76, 82, 90. A mediana da turma B é 3 pontos maior, a caixa dela tem 12 pontos de largura contra 16 da turma A, e a amplitude é 32 contra 43. A turma B teve notas um pouco mais altas e bem mais parecidas entre si.

Atividade grátis para imprimirOperações Mistas — Alunos do 6.º anoFicha · PDF

A regra: compare primeiro as medianas, depois a largura das caixas

Dois boxplots se comparam numa ordem fixa: as medianas, depois a largura das caixas, depois os bigodes. As medianas dizem qual grupo fica mais alto num caso típico, e a largura das caixas diz qual grupo é mais regular.

O tamanho da diferença importa tanto quanto a direção. O padrão 7.SP.B.3 do Common Core pede que o aluno do 7º ano avalie "o grau de sobreposição visual de duas distribuições de dados numéricos", expressando-o "como um múltiplo de uma medida de variabilidade". Uma diferença de 3 pontos entre as medianas é um quarto da AIQ de 12 da turma B, e as duas caixas se sobrepõem de 70 a 80, então a diferença entre as turmas é pequena.

Como acompanhar o progresso com boxplots

Cinco verificações curtas, feitas sem consultar anotações, mostram se o aluno entende o diagrama de caixa.

• Cinco números: para 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15, você consegue dar 3, 5, 8, 11, 15 e uma AIQ de 11 − 5 = 6?
• Quantidade par: para 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15, você consegue achar a mediana (7 + 9) ÷ 2 = 8, Q1 = (4 + 5) ÷ 2 = 4,5 e Q3 = (10 + 12) ÷ 2 = 11?
• Leitura: olhando um boxplot, você sabe dizer que fração dos valores fica dentro da caixa? A resposta é cerca de metade.
• Comparação: diante de dois boxplots, você consegue dizer numa frase qual grupo tem a mediana maior e em outra qual grupo é mais regular?
• Explicação: você consegue dizer por que a AIQ quase não muda quando o menor valor cai muito?

Um teste de cinco minutos com dados reais

Um teste de cinco minutos usa números da sua própria semana, como 11 notas de provinhas ou 9 contagens diárias de passos em milhares. Ordene os números, ache o resumo dos cinco números, desenhe o gráfico e confira os quartos contando.

Dê nota primeiro ao método e depois às contas. Se os quartis estão certos mas uma subtração saiu errada, a falha está nos fatos numéricos, e o jogo de matemática para o 6º ano ou o jogo de matemática para adultos recupera essa rapidez. As partes dos dados também se leem como porcentagens: a caixa guarda cerca de 50% e cada bigode cerca de 25%, como explica o guia de como calcular porcentagem.

Erros comuns no diagrama de caixa e casos especiais

Quatro erros causam a maioria dos boxplots errados, e cada um tem uma correção rápida.

• Erro: pular a ordenação. O meio de uma lista fora de ordem é um valor qualquer. Ordene primeiro.
• Erro: ler um bigode longo como mais dados. Todo bigode guarda cerca de um quarto dos valores; um bigode longo quer dizer que eles estão espalhados.
• Erro: escala irregular. Passos de 50, 60, 80, 100 esticam algumas partes do gráfico. Use passos iguais e comece perto do mínimo em vez de começar no 0.
• Erro: misturar métodos de quartil. Incluir a mediana numa metade e excluí-la da outra dá uma AIQ errada. Escolha um método e use o mesmo nas duas metades.

Caso especial: valores discrepantes e a cerca de 1,5 × AIQ

Um valor discrepante é um valor muito longe dos outros, e a regra de 1,5 × AIQ dá um teste para ele. O OpenStax diz que "um valor é suspeito de ser um possível valor discrepante se estiver mais de (1,5)(AIQ) abaixo do primeiro quartil ou mais de (1,5)(AIQ) acima do terceiro quartil", e acrescenta que "possíveis valores discrepantes sempre pedem uma investigação maior".

Use as notas com 31 no lugar de 52: Q1 é 64, Q3 é 80 e a AIQ é 16. Então 1,5 × 16 = 24, o limite inferior é 64 − 24 = 40 e o limite superior é 80 + 24 = 104. A nota 31 fica abaixo de 40, então é um possível valor discrepante, e nada fica acima de 104.

Num boxplot com cercas, o valor discrepante aparece como um ponto no 31. O NIST diz que o bigode então vai "até o menor ponto que é maior que" o limite inferior, então o bigode da esquerda para no 61.

Sua lista de verificação do boxplot e próximos passos

• Ordene e conte: escreva os valores do menor para o maior e anote quantos são.
• Mediana: ache o valor do meio, ou a média dos dois valores do meio numa quantidade par.
• Quartis: tire a mediana de cada metade, deixando a própria mediana de fora numa quantidade ímpar.
• AIQ e cercas: calcule Q3 − Q1 e depois procure valores além de 1,5 × AIQ.
• Desenhe: use uma escala com passos iguais, uma caixa de Q1 a Q3, um traço na mediana e bigodes até os extremos.
• Confira: conte os valores em cada quarto; as quatro contagens devem ser iguais ou quase iguais.

O jogo de achar a média, gratuito e no navegador, treina a média, a outra medida de tendência central que aparece ao lado de todo boxplot, sem cadastro.

O MathIt é um app gratuito para iOS e Android com cerca de 90 tipos de jogos e dificuldade adaptativa, então alguns minutos de prática diária mantêm rápidas a ordenação, a subtração e as divisões por 2 que estão por trás dos quartis.