Mittelwert, Median und Modalwert, Schritt für Schritt vorgerechnet

Ihr Kind bringt ein Arbeitsblatt mit der Überschrift Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite mit, daneben eine Liste aus sieben Zahlen. Die drei Antworten fallen verschieden aus, und das sieht aus, als wären zwei davon falsch. Alle drei stimmen, denn jede fasst dieselbe Liste auf eine andere Weise zusammen.

Was Mittelwert, Median und Modalwert jeweils messen

Mittelwert, Median und Modalwert sind drei Zusammenfassungen einer Zahlenreihe, und jede beantwortet eine andere Frage dazu. Der Mittelwert beantwortet, wie groß jeder Wert wäre, wenn die Gesamtmenge gleichmäßig verteilt würde.

Der Median beantwortet, was in der Mitte steht, sobald die Werte geordnet sind. Der Modalwert beantwortet, welcher Wert am häufigsten auftaucht.

Nehmen Sie die sechs Zahlen 2, 5, 7, 9, 9 und 10. Der Mittelwert ist 42 ÷ 6 = 7, der Median ist das Mittel der beiden mittleren Werte 7 und 9, also 8, und der Modalwert ist 9, der einzige Wert, der sich wiederholt.

Die drei Antworten lauten 7, 8 und 9, und keine davon ist ein Fehler.

Warum alle drei „Durchschnitt“ heißen

Im Alltag deckt das Wort „Durchschnitt“ alle drei Maße ab, und deshalb können Eltern und Schulbuch damit Verschiedenes meinen. In der Schulmathematik und in der Statistik bedeutet „Durchschnitt“ ohne Zusatz das arithmetische Mittel, also die Summe geteilt durch die Anzahl.

Der bayerische LehrplanPLUS für Mathematik in der 7. Jahrgangsstufe am Gymnasium trennt die Begriffe sauber: Die Kinder „verwenden für die Beschreibung und Interpretation von Daten neben dem arithmetischen Mittel den Median als weiteren Mittelwert“ und „vergleichen in Sachzusammenhängen kritisch die Aussagekraft dieser beiden Mittelwerte“. Der Lehrplan unterscheidet sich je nach Bundesland um bis zu ein Jahr.

Die Common-Core-Standards für Mathematik in den USA umgehen die Doppeldeutigkeit, indem sie von Maßen der Mitte sprechen: Kinder der 6. Klasse sollen für eine Datenreihe „quantitative Maße der Mitte (Median und/oder Mittelwert) und der Streuung“ angeben (6.SP.B.5c).

Warum die drei Antworten auseinandergehen

Die drei Antworten gehen auseinander, weil jedes Maß auf eine andere Eigenschaft der Daten schaut.

Der Mittelwert benutzt jeden Wert, also zieht jede Zahl an ihm. Der Median benutzt nur die Position der Werte, also ist ihm egal, wie weit die Extreme entfernt liegen. Der Modalwert benutzt nur die Wiederholung, also übergeht er alles, was einmal vorkommt.

Was ein einzelner Ausreißer mit dem Mittelwert macht

Ein Ausreißer ist ein Wert weit weg vom Rest, und er verschiebt den Mittelwert, während der Median fast still bleibt. Fünf Testergebnisse von 78, 82, 85, 85 und 90 ergeben einen Mittelwert von 420 ÷ 5 = 84, einen Median von 85 und einen Modalwert von 85.

Ersetzen Sie die 78 durch eine 0 für einen versäumten Test, dann lautet die sortierte Liste 0, 82, 85, 85, 90. Die Summe fällt auf 342, der Mittelwert also auf 342 ÷ 5 = 68,4, ein Rückgang um 15,6 Punkte.

Der Median bleibt bei 85, denn an der mittleren Position steht weiter eine 85. Diese Stabilität ist gemeint, wenn Statistikerinnen und Statistiker den Median robust nennen.

Das US-Statistikamt und die Wohnungsbaubehörde meldeten für neu verkaufte Häuser im Juli 2026 einen Median des Verkaufspreises von 393.800 US-Dollar und einen mittleren Verkaufspreis von 508.800 US-Dollar, eine Lücke von 115.000 US-Dollar, die von den teuersten Häusern der Stichprobe aufgerissen wurde.

Mittelwert, Median und Modalwert Schritt für Schritt berechnen

Mittelwert, Median und Modalwert brauchen je einen Durchgang durch die Daten, und die Reihenfolge dieser Durchgänge zählt. Arbeiten Sie die Minuten durch, die ein Kind an sieben Tagen gelesen hat: 12, 5, 9, 5, 15, 7 und 3.

1. Zuerst die Werte zählen. Schreiben Sie die Liste auf und zählen Sie, wie viele Zahlen sie enthält. Diese Reihe hat sieben Werte, also n = 7.
2. Vom kleinsten zum größten sortieren. Schreiben Sie die Liste geordnet in eine neue Zeile: 3, 5, 5, 7, 9, 12, 15. Jeder weitere Schritt liest aus dieser sortierten Zeile.
3. Für den Mittelwert die Werte addieren. Die Summe ist 3 + 5 + 5 + 7 + 9 + 12 + 15 = 56.
4. Die Summe durch die Anzahl teilen. Der Mittelwert ist 56 ÷ 7 = 8 Minuten und liegt zwischen dem kleinsten Wert 3 und dem größten Wert 15.
5. Für den Median den mittleren Wert nehmen. Bei ungerader Anzahl liegt die Mitte bei (7 + 1) ÷ 2 = 4, der Median ist also der vierte sortierte Wert, 7 Minuten.
6. Bei gerader Anzahl die beiden mittleren Werte mitteln. Sechs Werte wie 2, 5, 7, 9, 9 und 10 legen die Mitte auf die Positionen 3 und 4, der Median ist also (7 + 9) ÷ 2 = 8.
7. Für den Modalwert Wiederholungen zählen, für die Spannweite subtrahieren. Die 5 kommt zweimal vor und jeder andere Wert einmal, der Modalwert ist also 5, und die Spannweite ist 15 − 3 = 12 Minuten.

Der Punkt, an dem es kippt: vor dem Median sortieren

Sortiert wird vor jedem Median, jedes Mal, und das auszulassen ist der häufigste Fehler zu diesem Thema. In der unsortierten Liste 12, 5, 9, 5, 15, 7, 3 steht an vierter Stelle eine 5, wer also ohne Sortieren bis zur Mitte zählt, liest den Median als 5.

In der sortierten Liste steht an vierter Stelle eine 7, und 7 ist der Median. Zahlen zu ordnen ist genau das, was das Spiel zum Zahlenvergleich übt, und eine Summe durch eine Anzahl zu teilen ist der Schritt, den das Spiel zu den Divisionsaufgaben sicher macht. Das Spiel zum Mittelwert bringt beides in kurzen Runden zusammen.

Gratis im Browser spielenDurchschnitt findenKlasse 4–6

Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite im Vergleich

Mittelwert, Median, Modalwert und Spannweite beantworten vier getrennte Fragen zu einer Datenreihe. Eines davon auszuwählen ist eine Entscheidung darüber, was diese eine Zahl aussagen soll.

Welches Maß Sie angeben sollten

Die Form der Daten entscheidet über das Maß, und die amtliche Statistik zeigt die Regel in der Praxis. Einkommen und Immobilienpreise haben einen langen Ausläufer nach oben, deshalb meldet das US-Statistikamt für 2024 ein mittleres Haushaltseinkommen von 83.730 US-Dollar als Median und nicht als Mittelwert.

Die Bezahlung innerhalb eines Berufs liegt näher an einer symmetrischen Verteilung, deshalb meldet das Nationale Zentrum für Bildungsstatistik für 2020–21 ein durchschnittliches Grundgehalt von 61.600 US-Dollar für vollzeitbeschäftigte Lehrkräfte an öffentlichen Schulen. Beide Behörden geben einen Durchschnitt an; sie haben verschiedene gewählt, weil die Daten verschiedene Formen haben.

Die prozentuale Veränderung beruht auf einer ähnlichen Entscheidung darüber, welche Zahl unten steht, und der Leitfaden zum Prozentrechnen arbeitet das durch.

Vorgerechnete Beispiele aus dem Alltag

Drei alltägliche Datenreihen zeigen, welches Maß im jeweiligen Fall die Wahrheit sagt.

Noten, Immobilienpreise und Schuhgrößen

Noten verlangen meist den Mittelwert, denn ein Zeugnis soll jede erbrachte Leistung zählen. Testergebnisse von 78, 82, 85, 85 und 90 ergeben in der Summe 420, und 420 ÷ 5 = 84. Eine Lehrkraft, die das schlechteste Ergebnis streicht, gibt damit zu, dass der Mittelwert auf einen schlechten Tag empfindlich reagiert.

Immobilienpreise verlangen den Median, denn eine Handvoll sehr teurer Häuser liegt weit über dem Rest. Die Lücke vom Juli 2026 zwischen dem Median von 393.800 US-Dollar und dem Mittelwert von 508.800 US-Dollar beträgt 115.000 US-Dollar, und der Median ist die Zahl, mit der ein Käufer planen kann.

Schuhgrößen verlangen den Modalwert, denn ein Laden braucht die Größe, die sich am besten verkauft, und keine Kommazahl. Sieben verkaufte Paare in den Größen 6, 7, 7, 8, 9, 9 und 10 haben einen Mittelwert von 8 und einen Median von 8, während die beiden Modalwerte 7 und 9 sind, und genau die muss der Einkauf nachbestellen.

Unter allen drei Beispielen liegen Addition, Division und das Ordnen von Zahlen. Das druckbare gemischte Arbeitsblatt für die 5. Klasse übt diese Rechenarten mit Lösungen.

Arbeitsblatt gratis ausdruckenGemischte Rechenarten — FünftklässlerArbeitsblatt · PDF

So prüfen Sie, ob Ihr Kind es kann

Ein Kind, das Mittelwert, Median und Modalwert verstanden hat, tut vier Dinge ohne Aufforderung.

• Es sortiert vor dem Median. Das Kind schreibt die Liste geordnet in eine neue Zeile, statt in die Mitte der ursprünglichen zu zeigen.
• Es kommt mit gerader Anzahl zurecht. Bei sechs Werten addiert das Kind die beiden mittleren und halbiert die Summe, statt einen davon auszuwählen.
• Es erkennt eine Reihe ohne Modalwert. Bei 3, 5, 8 und 11 sagt das Kind, dass es keinen Modalwert gibt, statt eine 0 zu schreiben oder zu raten.
• Es wählt das passende Maß zur Geschichte. Gefragt, welcher Durchschnitt zu Immobilienpreisen oder Schuhgrößen passt, kann das Kind eines nennen und in einem Satz begründen.

Eine Kontrolle über fünf Minuten am Küchentisch

Eine Liste aus sechs Zahlen prüft jede Regel dieses Leitfadens. Schreiben Sie 4, 6, 6, 8, 10 und 14 auf Papier und fragen Sie alle vier Maße ab.

Die Antworten sind ein Mittelwert von 48 ÷ 6 = 8, ein Median von (6 + 8) ÷ 2 = 7, ein Modalwert von 6 und eine Spannweite von 14 − 4 = 10. Ein Kind, das beim Median 6 antwortet, hat die Regel für gerade Anzahlen übersprungen, und ein Kind, das beim Modalwert 10 antwortet, hat die Spannweite genannt.

In Deutschland kommen die Mittelwerte meist in der 5. bis 7. Klasse dran, und die Übersicht dazu, welche Mathematik in welcher Klasse dran ist, zeigt, was davor und danach kommt.

Typische Fehler, Sonderfälle und Ihre Checkliste

Fünf Fehler verursachen die meisten Punktverluste bei einer Aufgabe zu Mittelwert, Median und Modalwert.

• Vor dem Median nicht sortieren. Ein unsortierter mittlerer Wert ist weit öfter die falsche als die richtige Antwort, schreiben Sie die Liste also zuerst geordnet auf.
• Für den Mittelwert durch die falsche Zahl teilen. Geteilt wird durch die Anzahl aller Werte, nie durch die Anzahl der verschiedenen Werte und nie durch den größten Wert.
• Bei gerader Anzahl einen mittleren Wert nehmen. Eine Liste mit gerader Anzahl hat zwei mittlere Werte, und der Median ist ihr Mittel, also ergeben 2, 5, 7, 9, 9 und 10 den Wert (7 + 9) ÷ 2 = 8.
• Die Spannweite für einen Durchschnitt halten. Die Spannweite ist der größte Wert minus dem kleinsten und beschreibt die Streuung, sie beantwortet also nie eine Frage nach der Mitte.
• Eine 0 schreiben, wenn es keinen Modalwert gibt. Eine Reihe, in der jeder Wert einmal vorkommt, hat gar keinen Modalwert, und die 0 ist ein Wert, der etwas anderes behauptet.

Wenn eine Datenreihe zwei Modalwerte hat oder keinen

Eine Datenreihe kann einen Modalwert haben, mehrere oder keinen, und alle drei Fälle sind normal. Die Größen 6, 7, 7, 8, 9, 9 und 10 haben zwei Modalwerte, 7 und 9, und damit ist diese Reihe bimodal.

Die Zahlen 3, 5, 8 und 11 haben keinen Modalwert, weil sich nichts wiederholt. Eine zweite Spitze ist eine Information, die man behalten sollte: Zwei Modalwerte bei den Noten einer Klasse bedeuten oft zwei Lerngruppen in einem Raum.

Die folgende Checkliste macht aus dem ganzen Verfahren eine Reihenfolge, die Sie auf jede Liste anwenden können.

• Die Werte zählen. Schreiben Sie n zuerst auf, denn Mittelwert und Median hängen beide davon ab.
• Die Liste sortieren. Ordnen Sie die Zahlen in einer neuen Zeile und lassen Sie die ursprüngliche Liste stehen.
• Mittelwert: addieren, dann teilen. Alle Werte aufsummieren, durch n teilen und prüfen, ob die Antwort zwischen dem kleinsten und dem größten Wert liegt.
• Median: die Mitte, oder das Mittel der beiden Mitten. Bei ungeradem n den mittleren Wert nehmen, bei geradem n das Mittel der beiden mittleren Werte.
• Modalwert und Spannweite zuletzt. Für den Modalwert Wiederholungen zählen und keinen oder mehrere zulassen, für die Spannweite den kleinsten vom größten Wert abziehen.

22 der rund 90 Spieltypen von MathIt laufen kostenlos im Browser ohne Anmeldung, und die kostenlose App für iOS und Android bringt eine adaptive Schwierigkeit mit, sodass Mittelwerte erst schwerer werden, wenn die leichten Reihen stimmen. Erwachsene, die ihr eigenes Rechnen wieder aufbauen, beginnen auf der Seite mit den Mathe-Spielen für Erwachsene.