Kutu grafiği nasıl çizilir, nasıl okunur ve çeyrekler açıklığı nasıl bulunur

Karnede sınıf ortancasının 73 olduğu yazıyor ve yanında bir kutu ile ondan dışarı uzanan iki çizgiden oluşan küçük bir grafik var. Bu grafik bir kutu grafiğidir, kutu bıyık grafiği de denir, ve kutusunun genişliğini belirleyen sayı çeyrekler açıklığıdır. Hangi beş sayıyı bulacağınızı bildiğinizde bir kurşun kalemle yaklaşık beş dakikada bir tane çizebilirsiniz.

Kutu grafiği neyi gösterir: beş sayı özeti

Kutu grafiği, beş sayı kullanarak bir veri grubunun ortasının nerede olduğunu ve değerlerin ne kadar yayıldığını gösterir. OpenStax Introductory Statistics 2e bunları sıralar: kutu grafiği beş değerden kurulur; en küçük değer, birinci çeyrek, ortanca, üçüncü çeyrek ve en büyük değer. Bu beş sayı birlikte beş sayı özetini oluşturur.

Çeyrekler, sıralanmış verileri yaklaşık eşit büyüklükte dört parçaya ayırır: Q1 alt yarının ortası, ortanca M bütün grubun ortası, Q3 de üst yarının ortasıdır. Ortancayı hatırlamak isterseniz aritmetik ortalama, ortanca ve mod rehberi tek ve çift sayıda veride ortancanın nasıl bulunduğunu gösterir.

Türkiye'de kutu grafiği lisede öğretilir. MEB'in Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 9. sınıfta (MAT.9.6.1) nicel verileri nokta grafiği, histogram ve kutu grafiğiyle görselleştirmeyi ve açıklık, çeyrekler açıklığı ve standart sapma ile özetlemeyi ister. ABD'de ise kutu grafiği 6. sınıf konusudur: Common Core 6.SP.B.4 standardı sayısal verilerin nokta grafiği, histogram ve kutu grafiğiyle sayı doğrusunda gösterilmesini ister, 6.SP.B.5c de çeyrekler açıklığı ve ortalama mutlak sapma gibi değişkenlik ölçülerini ekler.

Aykırı bir değer varken çeyrekler açıklığı neden açıklıktan iyidir

Çeyrekler açıklığı verilerin ortadaki yarısının yayılımını ölçer, bu yüzden tek bir uç değer onu esnetemez. OpenStax bölüm 2.3, çeyrekler açıklığını verilerin ortadaki yarısının, yani ortadaki %50'sinin yayılımını gösteren bir sayı olarak tanımlar; formül Q3 − Q1'dir.

11 sınav puanı alalım: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84 ve 95. Açıklık 95 − 52 = 43, çeyrekler açıklığı 80 − 64 = 16'dır. Bir öğrenci kötü bir gün geçirip 52 yerine 31 alsaydı açıklık 95 − 31 = 64'e fırlardı; Q1, ortanca ve Q3 ise 64, 73 ve 80'de kalırdı, yani çeyrekler açıklığı 16 olarak kalırdı.

Kutu grafiği adım adım nasıl çizilir

Kutu grafiği altı adımda çizilir; burada aynı 11 sınav puanıyla gösteriliyor.

1. Verileri sıralayın. Değerleri küçükten büyüğe yazın: 52, 61, 64, 68, 70, 73, 75, 78, 80, 84, 95. Toplam 11 değer var.
2. Ortancayı bulun. 11 değerde ortanca 6. değerdir, çünkü her iki yanında 5 değer kalır. Ortanca 73'tür.
3. Q1 ve Q3'ü bulun. Q1, alt yarının (52, 61, 64, 68, 70) ortancasıdır, yani 64. Q3, üst yarının (75, 78, 80, 84, 95) ortancasıdır, yani 80. Çeyrekler açıklığı 80 − 64 = 16'dır.
4. En küçük ve en büyük değeri not edin. En küçük değer 52, en büyük değer 95'tir; beş sayı özeti 52, 64, 73, 80, 95 olur.
5. Bir ölçek çizin. Bütün değerleri kapsayan bir sayı doğrusu çizin, burada 50'den 100'e, 5'er ya da 10'ar eşit adımla. Ölçeği okumak, cetvel okumak ile aynı beceridir.
6. Kutuyu ve bıyıkları çizin. 64'ten 80'e bir kutu çizin ve 73'e dikey bir çizgi koyun. Sonra 64'ten sola 52'ye bir bıyık, 80'den sağa 95'e bir bıyık çizin.

İkinci tur, çeyrekleri sayarak kontrol eder. Q1'in altında iki puan (52 ve 61), Q1 ile ortanca arasında iki puan (68 ve 70), ortanca ile Q3 arasında iki puan (75 ve 78) ve Q3'ün üstünde iki puan (84 ve 95) var. Dört aralıktaki sayıların eşit olması çeyreklerin doğru olduğunu gösterir.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınOrtalamayı Bul4–6. sınıf

En çok karıştırılan nokta: ortanca yarılara dahil mi, değil mi

Tek sayıda veride ortancanın alt ve üst yarıya dahil edilip edilmeyeceği konusunda farklı görüşler vardır. Common Core onu dışarıda bırakır: sözlüğü birinci çeyreği ortanca M'den küçük değerlerin ortancası olarak tanımlar ve bir dipnotta çeyrekleri hesaplamak için pek çok farklı yöntemin kullanıldığını kabul eder. Bu yazı, ortancayı dışarıda bırakan okul yöntemini kullanır.

Ortancayı dahil ederseniz alt yarı 52, 61, 64, 68, 70, 73 olur ve Q1 = (64 + 68) ÷ 2 = 66 çıkar; üst yarıdan da Q3 = (78 + 80) ÷ 2 = 79 bulunur. Çeyrekler açıklığı 13'e düşer. Bir hesap tablosunun QUARTILE.INC işlevi (Türkçe Excel'de DÖRTTEBİRLİK.DHL) ve birçok hesap makinesi bu değerleri verir; bu yüzden bir cevaba yanlış demeden önce öğretmeninizin ya da ders kitabınızın hangi yöntemi kullandığına bakın.

Açıklık, çeyrekler açıklığı, ortalama mutlak sapma ve standart sapma karşılaştırması

Açıklık, çeyrekler açıklığı, ortalama mutlak sapma ve standart sapmanın hepsi yayılımı ölçer, ama her biri verilerin farklı bir kısmına bakar. Açıklık yalnızca iki uç değeri, çeyrekler açıklığı ortadaki yarıyı kullanır; diğer ikisi ise her değeri aritmetik ortalamaya olan uzaklığıyla hesaba katar.

Hangi yayılım ölçüsü seçilmeli

Çeyrekler açıklığı ortancayla, ortalama mutlak sapma ise aritmetik ortalamayla birlikte kullanılacak ölçüdür. Verilerde aykırı bir değer varsa, örneğin sınava girmeyen bir öğrencinin 0 aldığı bir sınavda, ortanca ve çeyrekler açıklığını; uç değer yoksa ortalama ve ortalama mutlak sapmayı kullanın.

İki kutu grafiği nasıl okunur ve karşılaştırılır

Kutu grafiği ortadan dışarıya doğru okunur: önce ortanca çizgisi, sonra kutu, sonra bıyıklar. Dört parçanın, yani iki bıyığın ve kutunun iki yarısının her biri değerlerin yaklaşık dörtte birini içerir.

Kutu grafikleri asıl değerini, ikisini aynı ölçeğe koyduğunuzda gösterir. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods onları veri gruplarının konumunu ve değişkenliğini aktarmak için mükemmel bir araç olarak niteler ve kutunun verilerin ortadaki %50'sini, yani verinin “gövdesini” temsil ettiğini söyler.

A sınıfının beş sayı özeti 52, 64, 73, 80, 95; B sınıfınınki 58, 70, 76, 82, 90'dır. B sınıfının ortancası 3 puan yüksek, kutusu A sınıfının 16 puanına karşı 12 puan genişliğinde ve açıklığı 43'e karşı 32'dir. B sınıfı biraz daha yüksek ve çok daha dengeli puanlar almıştır.

Ücretsiz çalışma kâğıdıKarışık İşlemler — 6. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

Kural: önce ortancaları, sonra kutu genişliklerini karşılaştırın

İki kutu grafiği sabit bir sırayla karşılaştırılır: ortancalar, sonra kutu genişlikleri, sonra bıyıklar. Ortancalar tipik bir durumda hangi grubun daha yüksek olduğunu, kutu genişlikleri ise hangi grubun daha tutarlı olduğunu söyler.

Farkın büyüklüğü de yönü kadar önemlidir. Common Core 7.SP.B.3, 7. sınıf öğrencilerinden iki sayısal veri dağılımının görsel örtüşme derecesini bir değişkenlik ölçüsünün katı olarak ifade ederek değerlendirmelerini ister. Ortancalar arasındaki 3 puanlık fark, B sınıfının 12'lik çeyrekler açıklığının dörtte biridir ve iki kutu 70'ten 80'e kadar örtüşür; yani sınıflar arasındaki fark küçüktür.

Kutu grafiğinde ilerleme nasıl kontrol edilir

Notlara bakmadan yapılan beş kısa kontrol, bir öğrencinin kutu grafiğini anlayıp anlamadığını gösterir.

• Beş sayı: 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15 için 3, 5, 8, 11, 15 özetini ve 11 − 5 = 6 çeyrekler açıklığını verebiliyor musunuz?
• Çift sayıda veri: 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 15 için ortancayı (7 + 9) ÷ 2 = 8, Q1'i (4 + 5) ÷ 2 = 4,5 ve Q3'ü (10 + 12) ÷ 2 = 11 olarak bulabiliyor musunuz?
• Okuma: bir kutu grafiğine bakarak değerlerin ne kadarının kutunun içinde kaldığını söyleyebiliyor musunuz? Cevap yaklaşık yarısıdır.
• Karşılaştırma: iki kutu grafiği verildiğinde ortancası daha yüksek olan grubu ve daha tutarlı olan grubu birer cümleyle söyleyebiliyor musunuz?
• Açıklama: en küçük değer çok düşünce çeyrekler açıklığının neden neredeyse hiç değişmediğini anlatabiliyor musunuz?

Gerçek verilerle beş dakikalık bir test

Beş dakikalık bir test kendi haftanızdan sayılar kullanır; örneğin 11 kısa sınav puanı ya da bin adım cinsinden 9 günlük adım sayısı. Bunları sıralayın, beş sayı özetini bulun, grafiği çizin ve çeyrekleri sayarak kontrol edin.

Önce yöntemi, sonra işlemi puanlayın. Çeyrekler doğru ama bir çıkarma yanlışsa eksik temel işlem bilgisindedir ve 6. sınıflar için matematik oyunu ya da yetişkinler için matematik oyunu bu hızı yeniden kurar. Verilerin parçaları yüzde olarak da okunur: kutu yaklaşık %50'yi, her bıyık yaklaşık %25'i taşır; bunu yüzde hesaplama rehberi anlatır.

Kutu grafiğinde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış kutu grafiklerinin çoğunu dört hata doğurur ve her birinin hızlı bir çözümü vardır.

• Hata: sıralamayı atlamak. Sıralanmamış bir listenin ortası rastgele bir değerdir. Önce sıralayın.
• Hata: uzun bıyığı daha çok veri sanmak. Her bıyık değerlerin yaklaşık dörtte birini taşır; uzun bir bıyık değerlerin dağınık olduğunu gösterir.
• Hata: eşit olmayan ölçek. 50, 60, 80, 100 gibi adımlar grafiğin bazı kısımlarını gerer. Eşit adımlar kullanın ve 0'dan değil, en küçük değere yakın bir yerden başlayın.
• Hata: çeyrek yöntemlerini karıştırmak. Ortancayı bir yarıya dahil edip diğerinden çıkarmak yanlış bir çeyrekler açıklığı verir. Bir yöntem seçin ve iki yarıda da onu kullanın.

Sınır durum: aykırı değerler ve 1,5 × çeyrekler açıklığı sınırı

Aykırı değer diğerlerinden çok uzakta kalan bir değerdir ve 1,5 × çeyrekler açıklığı kuralı onun için bir test verir. OpenStax'e göre bir değer, birinci çeyreğin (1,5)(çeyrekler açıklığı) kadar altından daha küçükse ya da üçüncü çeyreğin (1,5)(çeyrekler açıklığı) kadar üstünden daha büyükse olası bir aykırı değer olarak görülür; OpenStax, olası aykırı değerlerin her zaman daha fazla incelenmesi gerektiğini de ekler.

52 yerine 31 olan puanları kullanalım: Q1 = 64, Q3 = 80 ve çeyrekler açıklığı 16'dır. O zaman 1,5 × 16 = 24, alt sınır 64 − 24 = 40, üst sınır 80 + 24 = 104 olur. 31 puanı 40'ın altında kaldığı için olası bir aykırı değerdir; 104'ün üstünde ise hiçbir değer yoktur.

Sınırları gösteren bir kutu grafiğinde aykırı değer 31'de bir nokta olarak çizilir. NIST'e göre bu durumda bıyık alt sınırdan büyük olan en küçük noktaya kadar uzanır, yani sol bıyık 61'de durur.

Kutu grafiği kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Sırala ve say: değerleri küçükten büyüğe yazın ve kaç tane olduğunu not edin.
• Ortanca: ortadaki değeri, çift sayıda veride ise ortadaki iki değerin ortalamasını bulun.
• Çeyrekler: her yarının ortancasını alın; tek sayıda veride ortancanın kendisini dışarıda bırakın.
• Çeyrekler açıklığı ve sınırlar: Q3 − Q1'i hesaplayın, sonra 1,5 × çeyrekler açıklığının ötesindeki değerlere bakın.
• Çizim: eşit aralıklı bir ölçek, Q1'den Q3'e bir kutu, ortancada bir çizgi ve uç değerlere uzanan bıyıklar kullanın.
• Kontrol: her çeyrekteki değerleri sayın; dört sayı eşit ya da eşite yakın olmalıdır.

Tarayıcıdaki ücretsiz ortalama bulma oyunu, her kutu grafiğinin yanında karşılaşacağınız diğer merkez ölçüsü olan aritmetik ortalamayı kayıt olmadan çalıştırır.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü ve uyarlanabilir zorluk sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır; günde birkaç dakikalık alıştırma, çeyreklerin arkasındaki sıralama, çıkarma ve yarıya bölme işlemlerini hızlı tutar.