平均数、中位数、众数讲解，附例题和易错点

孩子带回来一张练习，抬头写着“平均数、中位数、众数和极差”，下面是七个数。三个答案算出来都不一样，看着像是其中两个错了。其实三个都对，因为每一个都是从不同角度概括同一串数。

平均数、中位数、众数各自量的是什么

平均数、中位数和众数是对同一串数的三种概括，各自回答的问题不一样。平均数回答的是：如果把总数平均分给每一项，每一项会是多少。

中位数回答的是：把数据从小到大排好以后，正中间坐着谁。众数回答的是：哪个数出现得最多。

拿 2、5、7、9、9、10 这六个数来说。平均数是 42 ÷ 6 = 7，中位数是中间两个数 7 和 9 的平均，也就是 8，众数是 9，因为只有它重复出现。

三个答案分别是 7、8、9，没有一个是算错的。

为什么三个都被叫作“平均”

日常说话里的“平均”把三样都盖住了，所以家长嘴里的平均和课本上的平均可能不是一回事。在数学课和统计里，不加限定的“平均”指的是算术平均数，也就是总和除以个数。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（教育部印发，2022 年秋季学期起执行）把这些内容归在“统计与概率”里，平均数在小学阶段就要求会求、会用来比较两组数据，中位数和众数则留到后面的学段。美国的共同核心州立数学标准用“集中程度的度量”这个说法来避开歧义：六年级学生要给出一组数据“集中程度（中位数或平均数）和离散程度的定量描述”（6.SP.B.5c）。

三个答案为什么会不一样

三个答案不一样，是因为每一种度量看的是数据的不同侧面。

平均数用上了每一个数，所以每个数都在拽着它。中位数只用位置，所以两头的数离得多远它都不管。众数只看重复，所以只出现一次的事情它全部忽略。

一个极端值会把平均数带到哪里

极端值是离其他数很远的那个数，它会把平均数拉走，却几乎让中位数原地不动。五次小测成绩 78、82、85、85、90，平均数是 420 ÷ 5 = 84，中位数是 85，众数也是 85。

把那个 78 换成缺考记 0 分，排好序就成了 0、82、85、85、90。总和降到 342，平均数跟着掉到 342 ÷ 5 = 68.4，一下少了 15.6 分。

中位数还是 85，因为正中间的位置上坐着的仍然是 85。统计学里说中位数“稳健”，说的就是这种稳。

美国人口普查局和住房与城市发展部公布，2026 年 7 月售出的新建住宅价格中位数为 393,800 美元，而平均售价为 508,800 美元，中间 115,000 美元的差距，是样本里最贵的那些房子撑开的。

一步步算出平均数、中位数和众数

平均数、中位数和众数各需要把数据过一遍，而这几遍的先后顺序有讲究。就拿一个孩子七天里每天的阅读分钟数来做：12、5、9、5、15、7、3。

1. 先数一数有几个数。 把这串数写下来，数清个数。这组有七个数，所以 n = 7。
2. 从小到大排好序。 另起一行重写一遍：3、5、5、7、9、12、15。后面每一步都从这行排好的数上读。
3. 求平均数先求和。 总和是 3 + 5 + 5 + 7 + 9 + 12 + 15 = 56。
4. 总和除以个数。 平均数是 56 ÷ 7 = 8 分钟，落在最小的 3 和最大的 15 之间。
5. 中位数取正中间那个。 个数是奇数时，正中间的位置是 (7 + 1) ÷ 2 = 4，所以中位数是排好序的第四个数，7 分钟。
6. 个数是偶数时，取中间两个数的平均。 像 2、5、7、9、9、10 这六个数，中间落在第 3、4 位，所以中位数是 (7 + 9) ÷ 2 = 8。
7. 数重复求众数，再相减求极差。 5 出现了两次，别的数各一次，所以众数是 5；极差是 15 − 3 = 12 分钟。

最容易栽的一步：求中位数之前必须排序

求中位数之前一定要先排序，每一次都要，而跳过这一步是这个知识点上最常见的错。没排序的 12、5、9、5、15、7、3 第四位上是 5，所以谁不排序就数到中间，谁就会把中位数读成 5。

排好序以后第四位上是 7，中位数才是 7。把数按大小排开，正是比大小练习在练的本事；而用总和去除以个数，是除法口算练习要变成条件反射的那一步。求平均数练习把两件事放进限时的一轮里一起练。

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平均数、中位数、众数、极差怎么比

平均数、中位数、众数和极差回答的是同一组数据的四个不同问题。挑哪一个，其实是在决定这个数要替你说什么话。

该报哪一个

数据的形状决定用哪一种度量，官方统计就是这条规则的现成例子。收入和房价都有一条向高处拖得很长的尾巴，所以美国人口普查局公布的是 2024 年家庭收入中位数 83,730 美元，而不是平均数。

同一个职业内部的工资比较对称，所以美国国家教育统计中心公布的是 2020–21 学年公立学校全职教师的平均基本工资 61,600 美元。两家机构报的都是“平均”，选择不同，是因为数据的形状不同。

百分数的增减也是同一类选择，关键在于分母放哪个数，百分数怎么算这篇把它一步步走了一遍。

生活里的三个例子

三组日常数据，正好说明每种情形下哪一个度量才说了实话。

考试成绩、房价和鞋码

考试成绩通常要用平均数，因为成绩单该把每一次考出来的分都算进去。小测 78、82、85、85、90 加起来是 420，420 ÷ 5 = 84。老师如果把最低的一次去掉，其实就是承认平均数经不起一次发挥失常。

房价要用中位数，因为少数几套特别贵的房子远远坐在其他房子上面。2026 年 7 月那 393,800 美元的中位数和 508,800 美元的平均数之间差着 115,000 美元，而买房的人能拿来做打算的是中位数。

鞋码要用众数，因为店里要知道的是卖得最多的码，不是一个小数。卖出的七双鞋码是 6、7、7、8、9、9、10，平均数是 8，中位数也是 8，而两个众数 7 和 9 才是采购真正要补的货。

这三个例子底下的运算无非是加法、除法和把数排好序。五年级混合练习页附答案，练的正是这几样。

免费可打印练习页混合运算 — 五年级学生练习卷 · PDF

怎么确认孩子真的懂了

真懂平均数、中位数和众数的孩子，有四件事不用提醒就会做。

• 求中位数之前先排序。 他会另起一行把数按顺序重写，而不是在原来那串上直接指中间。
• 会处理偶数个数据。 给六个数，他会把中间两个加起来再除以二，而不是从中挑一个。
• 说得出“没有众数”。 给 3、5、8、11，他会说没有众数，而不是写 0 或者乱猜。
• 会按情境挑合适的那个。 问他房价或者鞋码该用哪一种平均，他能说出一个，并用一句话讲清为什么。

饭桌上的五分钟检查

一串六个数就能把这篇里的规则全考一遍。在纸上写下 4、6、6、8、10、14，四样都要。

答案是：平均数 48 ÷ 6 = 8，中位数 (6 + 8) ÷ 2 = 7，众数 6，极差 14 − 4 = 10。中位数答 6 的孩子漏掉了偶数个数据的规则，众数答 10 的孩子把极差说成了众数。

这一块内容在小学高年级陆续出现，各年级该会哪些数学把它前后的知识点排了出来。

常见错误、边界情况和检查清单

平均数、中位数、众数这类题丢的分，大半来自五个错。

• 求中位数前忘了排序。 没排序就取中间，错的次数远多过对的次数，所以先把数按顺序重写一行。
• 求平均数时除错了数。 除数是这串数一共有几个，绝不是有几种不同的数，也不是最大的那个数。
• 偶数个数据只取了一个中间数。 个数是偶数时中间有两个数，中位数是这两个数的平均，所以 2、5、7、9、9、10 的中位数是 (7 + 9) ÷ 2 = 8。
• 把极差当成一种平均。 极差是最大值减最小值，描述的是分散程度，回答不了“中间在哪里”。
• 没有众数时写 0。 每个数都只出现一次，就是没有众数，而写 0 等于说了另外一件事。

一组数据有两个众数或者没有众数时

一组数据可以有一个众数、几个众数，也可以没有众数，三种结果都正常。鞋码 6、7、7、8、9、9、10 有两个众数 7 和 9，这样的数据叫双众数。

3、5、8、11 没有众数，因为没有一个数重复。多出来的那个峰是值得留意的信息：一个班的成绩出现两个众数，往往意味着一间教室里坐着两拨水平不同的学生。

下面这份清单把整套方法变成一个可以套在任何一串数上的顺序。

• 先数个数。 什么都别急，先把 n 写下来，平均数和中位数都要用它。
• 排好序。 在新的一行把数按顺序写开，原来那串别动。
• 平均数：先加，再除。 全部加起来除以 n，再检查答案是不是落在最小值和最大值之间。
• 中位数：正中间，或者中间两个的平均。 n 是奇数取正中间那个，n 是偶数取中间两个数的平均数。
• 众数和极差放最后。 数重复求众数，可以没有也可以有好几个；最大值减最小值求极差。

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