O que é quociente? O nome de cada resultado na matemática, explicado

A folha de exercícios do seu filho diz "calcule o quociente de 56 por 8", e você não tem certeza se é para multiplicar ou dividir. O que é quociente, e em que ele difere de produto, soma ou diferença? Cada uma dessas palavras da lição de casa dá nome ao resultado de uma operação, então, sabendo as quatro, a maioria dos enunciados vira uma conta curta.

O que é quociente?

Quociente é o resultado que você obtém ao dividir um número por outro. Em 20 ÷ 4 = 5, o quociente é 5. O OpenStax Prealgebra diz sem rodeios: a palavra quociente manda dividir.

A mesma divisão pode ser escrita de três jeitos: 20 ÷ 4, 20/4 como fração, ou na chave do método da chave. Os três dão quociente 5, e na forma de fração o dividendo fica em cima e o divisor embaixo.

Dividendo, divisor e resto

O dividendo é o número que está sendo dividido, e o divisor é o número pelo qual se divide. Em 20 ÷ 4 = 5, o dividendo é 20, o divisor é 4 e o quociente é 5.

Quando a divisão não é exata, alguma coisa sobra, e essa quantidade é o resto. Reparta 23 biscoitos em 4 pratos: cada prato recebe 5, o que usa 4 × 5 = 20 biscoitos, e sobram 3. O quociente é 5 e o resto é 3, porque 23 = 4 × 5 + 3.

No Brasil, a BNCC traz a divisão com resto no 3º ano, ao pedir problemas de divisão de um número natural por outro (até 10) "com resto zero e com resto diferente de zero" (EF03MA08), e associa o quociente de uma divisão exata por 2, 3, 4, 5 e 10 "às ideias de metade, terça, quarta, quinta e décima partes" (EF03MA09). No 4º ano, o divisor passa a ter até dois algarismos (EF04MA07). O padrão 4.NBT.B.6 do Common Core pede no 4º ano americano achar quocientes e restos inteiros com dividendos de até quatro algarismos e divisores de um algarismo. O guia de divisão pelo método da chave mostra o método escrito para os números maiores.

Por que o vocabulário da matemática importa na lição de casa

O vocabulário da matemática importa porque as palavras dizem que operação usar e em que ordem. A criança que lê "o quociente de 56 por 8" como multiplicação chega a 448 em vez de 7, com todos os passos da conta certos.

E as palavras chegam cedo.

O padrão 3.OA.A.2 pede no 3º ano americano interpretar quocientes de números inteiros, como 56 ÷ 8 sendo o tamanho de cada parte quando 56 objetos são repartidos em 8 partes iguais. No 6º ano, o padrão 6.EE.A.2b espera que o aluno identifique as partes de uma expressão com os termos da matemática (soma, termo, produto, fator, quociente, coeficiente). O panorama do que a criança aprende de matemática por ano põe essas habilidades em contexto.

Por que as listas de palavras-chave enganam

Listas de palavras-chave que dizem "mais é somar" e "sobrou é subtrair" quebram nos problemas de verdade. "Ana tem 12 figurinhas, 4 a mais que Léo. Quantas figurinhas Léo tem?" traz a palavra "mais", e mesmo assim a resposta é 12 − 4 = 8.

As palavras de resultado são diferentes dessas pistas. "Soma", "diferença", "produto" e "quociente" dão nome a uma operação só, sempre, enquanto as palavras da história dependem da situação. O guia de práticas sobre resolução de problemas do What Works Clearinghouse recomenda que o professor ajude o aluno a reconhecer e expressar conceitos e notação matemática, e o guia de como resolver problemas de matemática mostra como raciocinar sobre a história em vez disso.

Como ler um enunciado de matemática, passo a passo

Um enunciado de matemática vira uma conta em cinco passos, e a palavra de resultado faz a maior parte do trabalho.

1. Ache a palavra de resultado. Circule soma, diferença, produto ou quociente. Cada uma dá nome a uma operação: somar, subtrair, multiplicar ou dividir.
2. Separe os dois números. Procure as palavras "de", "entre", "e" e "por": em "o quociente de 56 por 8", os números são 56 e 8.
3. Mantenha os números na ordem da frase. O primeiro número citado vem primeiro na conta, então o quociente de 56 por 8 é 56 ÷ 8, nunca 8 ÷ 56.
4. Escreva a conta antes de calcular. 56 ÷ 8 = ? no papel mostra ao professor, e a você, que o enunciado foi lido certo.
5. Resolva e tire a prova com a operação inversa. 56 ÷ 8 = 7, e 8 × 7 = 56 confirma. A diferença se confere do mesmo jeito: 12 − 4 = 8 porque 8 + 4 = 12.

Onde a ordem importa e onde não importa

A ordem importa na diferença e no quociente, e não importa na soma nem no produto. A soma de 8 e 4 é 12 de qualquer jeito, e o produto de 6 por 4 é 24 de qualquer jeito.

A diferença entre 12 e 4 é 12 − 4 = 8, enquanto 4 − 12 dá −8. O OpenStax observa que em "a diferença entre 13 e 8" os números ficam na mesma ordem da frase, e avisa que "subtraia 24 de 43" inverte a ordem para 43 − 24.

Soma, diferença, produto e quociente comparados

Soma, diferença, produto e quociente são as quatro palavras de resultado, e cada operação também dá nome aos números que entram nela. A soma vem das parcelas, a diferença do minuendo e do subtraendo, o produto dos fatores, e o quociente do dividendo e do divisor.

Uma família de fatos, quatro nomes

Uma família de fatos mostra as quatro palavras com os mesmos números pequenos. Em 8 + 4 = 12 a soma é 12, em 12 − 4 = 8 a diferença é 8, em 6 × 4 = 24 o produto é 24, e em 24 ÷ 4 = 6 o quociente é 6.

Divisão e multiplicação andam juntas, então a criança que sabe 6 × 4 = 24 também sabe 24 ÷ 4 = 6. Lembrar a tabuada rápido deixa cada quociente da folha de exercícios mais rápido.

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Mais palavras da matemática que as crianças encontram

As crianças encontram um punhado de outras palavras da matemática entre o 2º e o 6º ano, e um exemplo de cada costuma bastar para fixar o sentido.

• Fator: um número que, multiplicado, forma outro. 3 e 4 são fatores de 12, porque 3 × 4 = 12.
• Múltiplo: o produto de um número por um número natural. 12, 16 e 20 são múltiplos de 4.
• Número primo: um número maior que 1 com exatamente dois divisores, o 1 e ele mesmo, como o 7. O padrão 4.OA.B.4 pede que o aluno decida se um número até 100 é primo ou composto.
• Algarismo e número: 347 é um número escrito com três algarismos, 3, 4 e 7.
• Numerador e denominador: em 3/4, o 3 é o numerador e o 4 é o denominador, e 3/4 também é o quociente 3 ÷ 4.
• Equação e expressão: uma equação tem sinal de igual, como 24 ÷ 4 = 6, e uma expressão não tem, como 24 ÷ 4 ou 2 × (8 + 7).

O guia de MMC e MDC parte de fator e múltiplo, as duas palavras que as crianças mais confundem.

O 6º ano pede que o aluno dê nome às partes de uma expressão. O exemplo do Common Core descreve 2 × (8 + 7) como um produto de dois fatores, em que (8 + 7) é ao mesmo tempo um fator e uma soma. O guia de expressões numéricas mostra como resolver expressões com mais de uma operação.

Como saber se seu filho domina as palavras

Cinco testes rápidos mostram se o vocabulário foi aprendido, e cada um leva menos de um minuto.

• Repita: Pergunte "o que é quociente?". A resposta a ouvir é "o resultado de uma divisão".
• Das palavras para a conta: Diga "o produto de 7 por 3". Seu filho deve escrever 7 × 3 = 21.
• Teste da ordem: Peça a diferença entre 15 e 9. A resposta é 6, de 15 − 9.
• Dê nome aos termos: Aponte para 30 ÷ 5 = 6 e pergunte qual número é o dividendo. A resposta é 30.
• Resto: Peça 17 ÷ 5. A resposta é quociente 3 e resto 2.

Um teste de vocabulário de dois minutos com quatro enunciados misturados, um para cada palavra de resultado, mostra mais do que uma folha de continhas. Leia cada enunciado em voz alta e peça ao seu filho que escreva a conta antes de resolvê-la.

Uma folha para imprimir traz o treino de cálculo por trás das palavras, com gabarito para conferir.

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Erros comuns com quociente e as outras palavras de resultado

Quatro erros causam a maioria dos pontos perdidos nas perguntas de vocabulário, e cada um tem um conserto curto.

• Chamar todo resultado de produto: Algumas crianças usam "produto" para qualquer resultado. Produto é só o resultado de uma multiplicação, então 9 + 3 = 12 dá soma 12.
• Ler diferença como "em que eles diferem": "Qual a diferença entre 9 e 4?" não pede uma descrição. A diferença é 9 − 4 = 5.
• Trocar a ordem no quociente: "O quociente de 3 por 12" é 3 ÷ 12 = 1/4, e escrever 12 ÷ 3 = 4 responde a outra pergunta. Mantenha o primeiro número citado como dividendo.
• Escrever o resto como decimal: 23 ÷ 4 dá 5 com resto 3, e 5,3 está errado. Como decimal, a resposta é 5,75, porque os 3 que sobram de 4 são 3/4 = 0,75.

Caso especial: um quociente menor que 1

O quociente é menor que 1 sempre que o dividendo é menor que o divisor. Repartir 3 pizzas entre 12 pessoas dá a cada uma 3 ÷ 12 = 1/4 de pizza.

A criança que só conheceu a divisão de números naturais costuma dizer "não dá para fazer". O quociente é uma fração, e o guia de frações para pais mostra por que 3/4 e 3 ÷ 4 são o mesmo número.

Sua lista de conferência do vocabulário da matemática e os próximos passos

• Soma: o resultado de uma adição, 8 + 4 = 12.
• Diferença: o resultado de uma subtração, o primeiro número menos o segundo, 12 − 4 = 8.
• Produto: o resultado de uma multiplicação, 6 × 4 = 24.
• Quociente: o resultado de uma divisão, dividendo ÷ divisor, 24 ÷ 4 = 6.
• Resto: o que sobra depois dos grupos iguais, 23 = 4 × 5 + 3.
• Ordem: mantenha a ordem da frase na diferença e no quociente.

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