Gemengde getallen en onechte breuken: wat ze zijn en hoe je ze omzet

Het recept vraagt 2 1/2 dl melk, en het enige schone maatbekertje in de la is van 1/2 dl. Je kind telt de scheppen: 1, 2, 3, 4, 5. Vijf halve deciliters is 5/2, en 5/2 is evenveel als 2 1/2, en daarmee zit het hele idee van onechte breuken en gemengde getallen in één keer tellen.

Wat zijn onechte breuken en gemengde getallen?

Onechte breuken en gemengde getallen zijn twee manieren om een hoeveelheid van 1 of meer op te schrijven. De onechte breuk 7/4 telt zeven kwarten; het gemengde getal 1 3/4 zegt hetzelfde als één geheel en drie kwart erbij.

Een breuk is echt als de teller kleiner is dan de noemer, zoals 3/4, en onecht als de teller gelijk of groter is. OpenStax Prealgebra definieert het precies zo: "de breuk a/b is een echte breuk als a<b en een onechte breuk als a≥b." Hetzelfde hoofdstuk zegt dat "een gemengd getal bestaat uit een heel getal en een breuk."

Hele getallen passen in hetzelfde plaatje. Elk heel getal kun je boven een 1 schrijven, dus 3 = 3/1, en een onechte breuk waarvan de teller een veelvoud van de noemer is, is een vermomd heel getal: 8/4 = 2, want acht kwarten vullen twee helen.

Waarom scholen beide vormen leren

Scholen leren beide vormen omdat elke vorm voor een andere taak makkelijker is. Een gemengd getal laat de grootte van een hoeveelheid in één oogopslag zien (1 3/4 ligt tussen 1 en 2), en met een onechte breuk kun je makkelijker vermenigvuldigen en delen.

In Nederland noemen de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO voor de basisschool "stambreuken (1/3), echte breuken (2/5), gemengde getallen (1 1/2) en onechte breuken (12/4)". De Common Core-standaarden beginnen in grade 4, ongeveer groep 6. Standaard 4.NF.B.3b vraagt kinderen een breuk te splitsen in een som van breuken met dezelfde noemer, met het voorbeeld "2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8", en 4.NF.B.3c vraagt ze "gemengde getallen met gelijke noemers op te tellen en af te trekken, bijvoorbeeld door elk gemengd getal te vervangen door een gelijkwaardige breuk". In Engeland vraagt het nationale curriculum leerlingen in Year 5, ongeveer groep 7, om "gemengde getallen en onechte breuken te herkennen en de ene vorm in de andere om te zetten".

Een onechte breuk omzetten in een gemengd getal, stap voor stap

Een onechte breuk omzetten in een gemengd getal is een deling met rest. De breukstreep betekent al "gedeeld door", en zo zegt Common Core-standaard 5.NF.B.3 het ook: "zie een breuk als de deling van de teller door de noemer (a/b = a : b)." Neem 17/5.

1. Deel de teller door de noemer. 17 : 5 = 3 rest 2, want 3 × 5 = 15 en 17 − 15 = 2.
2. Schrijf het quotiënt als het hele getal. Het quotiënt is 3, dus het gemengde getal begint met 3.
3. Schrijf de rest als de nieuwe teller. De rest 2 wordt de teller van het breukdeel.
4. Houd dezelfde noemer. De stukken zijn nog steeds vijfden, dus de noemer blijft 5, en 17/5 = 3 2/5.
5. Vereenvoudig het breukdeel. Bij 22/6 is 22 : 6 = 3 rest 4, dat geeft 3 4/6, en 4/6 deel je door 2 tot 3 2/3.

De deling in stap 1 is dezelfde die kinderen tegenkomen bij de staartdeling, waar de rest het deel is dat geen nieuwe groep meer vult. Vlotte deelsommen maken elke omzetting sneller.

Gratis spelen in je browserDeelsommenGroep 5+

Waar het misgaat: de noemer veranderen

De noemer verandert bij een omzetting nooit, en hem toch veranderen is de meest gemaakte fout. Een kind dat 17 door 5 deelt, schrijft soms 3 2/3, met het quotiënt onderaan, of 3 2/17, met de oude teller daar.

Vraag hoe groot de stukken zijn. Zeventien vijfden zijn vijfden voor de omzetting en vijfden erna; als je er telkens vijf samenvoegt tot een geheel, blijft elk stuk een vijfde. De eenheden hardop zeggen ("zeventien vijfden is drie helen en twee vijfden") vangt de vergissing.

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk

Een gemengd getal omzetten in een onechte breuk is de deling achterstevoren: vermenigvuldig het hele getal met de noemer, tel de teller erbij op en houd de noemer. Bij 3 2/5 bevatten de drie helen 3 × 5 = 15 vijfden, plus nog 2 vijfden maakt 17 vijfden, dus 3 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5.

De melk uit het begin werkt net zo. Bij 2 1/2 dl bevatten de twee hele deciliters 2 × 2 = 4 halve deciliters, plus nog een halve geeft 5/2, en dat zijn vijf scheppen met het bekertje van 1/2 dl. OpenStax noemt dezelfde drie zetten: "vermenigvuldig het hele getal met de noemer", "tel de teller op bij het product uit stap 1", "schrijf de som boven de oorspronkelijke noemer."

Waarom eerst omzetten het rekenen makkelijker maakt

Een gemengd getal eerst omzetten in een onechte breuk maakt vermenigvuldigen veilig, omdat het hele deel en het breukdeel samen meegaan. Bij 2 1/2 × 2 deel voor deel vermenigvuldigen laten kinderen makkelijk de helft vallen; 5/2 × 2 = 10/2 = 5 laat niets te vallen over. De gids over breuken vermenigvuldigen laat de hele methode voor gemengde getallen zien, en de gids over breuken aftrekken laat zien wanneer je een geheel leent van een gemengd getal.

Tips voor de keukentafel bij onechte breuken en gemengde getallen

Spullen uit de keuken maken onechte breuken en gemengde getallen zichtbaar, want een kind kan de stukken tellen en de helen zien ontstaan. Tien minuten met eten en een potlood doen meer dan een blad met oefensommen.

• Pizzapunten: Snijd twee pizza's in kwarten en leg 7 punten neer. Vraag hoeveel kwarten het zijn (7/4), dan hoeveel hele pizza's je kunt terugbouwen (1) en hoeveel punten er over zijn (3).
• Maatbekers: Vul een kom met 2 1/2 dl rijst met alleen het bekertje van 1/2 dl en tel de scheppen. Doe het nog eens met een schepje van 1/4 dl voor 1 3/4 dl; dat kost 7 scheppen, dus 1 3/4 = 7/4.
• Een getallenlijn: Teken een lijn van 0 tot 4 en zet een streepje bij elk vijfde. Tel vanaf 0 zeventien vijfden en kijk waar je uitkomt: 2 streepjes voorbij 3, dus 17/5 = 3 2/5.

Zeg de eenheden hardop

De naam van de eenheid uitspreken houdt de noemer op zijn plek. "Negen halven is vier helen en een half" gaat makkelijker goed dan "negen over twee is vier en één over twee", en de gesproken versie laat zien waarom het onderste getal niet kan veranderen. De gids breuken uitgelegd voor ouders gebruikt dezelfde teltaal voor tellers en noemers.

Zo controleer je de vooruitgang met onechte breuken en gemengde getallen

Vijf korte vragen laten zien of onechte breuken en gemengde getallen zijn ingedaald. Vraag je kind elke stap te zeggen, want een goed antwoord uit een gok verbergt een gat.

• Gewoon omzetten: Schrijf 11/4 als gemengd getal. Het antwoord is 2 3/4, want 11 : 4 = 2 rest 3.
• Weer terug: Schrijf 4 1/3 als onechte breuk. Het antwoord is 13/3, want 4 × 3 + 1 = 13.
• Vereenvoudigen nodig: Schrijf 14/4 als gemengd getal. Het antwoord is 3 2/4, en dat vereenvoudig je tot 3 1/2.
• Vergelijken: Vraag wat groter is, 9/4 of 2 1/2. De breuk 9/4 is 2 1/4, dus 2 1/2 is groter.
• Plaatsen: Vraag tussen welke twee hele getallen 23/5 ligt. De breuk 23/5 = 4 3/5, dus hij ligt tussen 4 en 5.

Een toets in twee richtingen

Een toets in twee richtingen zet dezelfde hoeveelheid op één blad heen en terug om: maak van 19/6 een gemengd getal (3 1/6) en zet het antwoord weer terug. Komt de rondreis uit op 19/6, dan zit de methode goed. Herhaal het elke week met nieuwe getallen en ga verder na twee foutloze weken.

Het rekenspel voor groep 6 bundelt oefening voor het leerjaar waarin deze vaardigheid begint.

Veelgemaakte fouten en randgevallen

Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij onechte breuken en gemengde getallen.

• De noemer veranderen: 17/5 schrijven als 3 2/3 ruilt vijfden in voor derden. Houd de oorspronkelijke noemer.
• Optellen in plaats van vermenigvuldigen: Van 3 2/5 maken (3 + 2)/5 = 5/5 telt elk geheel als één vijfde. Vermenigvuldig eerst: 3 × 5 + 2 = 17, dus het antwoord is 17/5.
• Vergeten te vereenvoudigen: 22/6 laten staan als 3 4/6 is goed maar niet af als het blad om de eenvoudigste vorm vraagt; 3 2/3 is het verwachte antwoord. De gids over breuken vereenvoudigen behandelt het breukdeel.
• De rest laten vallen: 17/5 schrijven als 3 verliest twee vijfden. De rest is het breukdeel, dus die moet erbij staan.

Randgevallen die een minuut waard zijn

Randgevallen komen op als de rest 0 is of het getal negatief. Een onechte breuk met rest 0 is een heel getal: 12 : 4 = 3 rest 0, dus 12/4 = 3, en niemand schrijft 3 0/4. Het is hetzelfde voorbeeld dat de SLO-kerndoelen voor onechte breuken geven.

Bij een negatief gemengd getal staat het minteken voor de hele hoeveelheid. Het getal −1 1/2 betekent −(1 + 1/2), en dat is −3/2, niet −1 + 1/2, wat −1/2 zou zijn. Zet het positieve deel om, 1 1/2 = 3/2, en zet het teken er weer voor.

Je checklist en de volgende stappen voor gemengde getallen

• Herken het: een breuk is onecht als de teller gelijk is aan of groter is dan de noemer.
• Naar een gemengd getal: deel; het quotiënt is het hele deel en de rest is de nieuwe teller.
• Naar een onechte breuk: vermenigvuldig het hele getal met de noemer en tel de teller erbij op.
• Zelfde noemer: de grootte van de stukken verandert in geen van beide richtingen.
• Afmaken: vereenvoudig het breukdeel en lees in de opdracht welke vorm gevraagd wordt.

Delen met rest draagt elk van deze stappen, dus korte dagelijkse oefening loont. MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast aan elke speler en dagelijkse oefening in 33 talen, plus live wedstrijden met 2 tot 5 spelers voor het hele gezin. Tweeëntwintig van de spellen spelen gratis in de browser zonder account, en 30 printbare werkbladen hebben een antwoordblad.