Uekte brøker og blandede tall: hva de er og hvordan du gjør dem om

Oppskriften sier 2 1/2 dl melk, og det eneste rene målet i skuffen rommer 1/2 dl. Barnet ditt teller fyllingene: 1, 2, 3, 4, 5. Fem halve desiliter er 5/2, og 5/2 er den samme mengden som 2 1/2, og det er hele ideen bak uekte brøker og blandede tall i én opptelling.

Hva er uekte brøker og blandede tall?

Uekte brøker og blandede tall er to måter å skrive en mengde som er 1 eller mer. Den uekte brøken 7/4 teller sju firedeler, og det blandede tallet 1 3/4 sier det samme som én hel og tre firedeler til overs.

En brøk er ekte når telleren er mindre enn nevneren, som i 3/4, og uekte når telleren er lik eller større. OpenStax Prealgebra definerer det nøyaktig slik: «Brøken a/b er en ekte brøk hvis a<b og en uekte brøk hvis a≥b.» Det samme kapittelet sier at «et blandet tall består av et helt tall og en brøk».

Hele tall passer inn i det samme bildet. Ethvert helt tall kan skrives over 1, så 3 = 3/1, og en uekte brøk der telleren er et multiplum av nevneren, er et helt tall i forkledning: 8/4 = 2, fordi åtte firedeler fyller to hele.

Hvorfor skolen lærer bort begge formene

Skolen lærer bort begge formene fordi hver av dem er lettest til sin egen jobb. Et blandet tall viser størrelsen på en mengde med ett blikk (1 3/4 ligger mellom 1 og 2), og en uekte brøk er lettere å gange og dele med.

I Norge skal eleven etter 5. trinn kunne «beskrive brøk som del av en hel, som del av en mengde, som en divisjon og som tall på tallinjen», ifølge kompetansemålene etter 5. trinn i LK20. Common Core-standardene i USA starter i fjerde skoleår. Standard 4.NF.B.3b ber elevene dele opp en brøk i en sum av brøker med samme nevner, med eksemplet «2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8», og 4.NF.B.3c ber dem «legge sammen og trekke fra blandede tall med like nevnere, for eksempel ved å bytte ut hvert blandet tall med en likeverdig brøk». I England ber den nasjonale læreplanen elevene i Year 5 «kjenne igjen blandede tall og uekte brøker og gjøre dem om fra den ene formen til den andre».

Slik gjør du en uekte brøk om til et blandet tall, steg for steg

Å gjøre en uekte brøk om til et blandet tall er en divisjon med rest. Brøkstreken betyr allerede «delt på», og det er slik Common Core-standarden 5.NF.B.3 sier det: «Tolk en brøk som telleren delt på nevneren (a/b = a : b).» Her er 17/5.

1. Del telleren på nevneren. 17 : 5 = 3 med rest 2, fordi 3 × 5 = 15 og 17 − 15 = 2.
2. Skriv kvotienten som det hele tallet. Kvotienten er 3, så det blandede tallet starter med 3.
3. Skriv resten som den nye telleren. Resten 2 blir telleren i brøkdelen.
4. Behold den samme nevneren. Delene er fortsatt femdeler, så nevneren er fortsatt 5, og 17/5 = 3 2/5.
5. Forkort brøkdelen. For 22/6 er 22 : 6 = 3 med rest 4, som gir 3 4/6, og 4/6 kan deles på 2 og blir 3 2/3.

Divisjonen i steg 1 er den samme som barn møter i oppstilt divisjon, der resten er delen som ikke fyller en ny gruppe. Raske divisjonsfakta gjør hver omgjøring raskere.

Spill gratis i nettleserenDelefakta3. trinn+

Delen mange gjør feil: å endre nevneren

Nevneren endrer seg aldri i en omgjøring, og å endre den er den vanligste feilen. Et barn som deler 17 på 5, skriver noen ganger 3 2/3 og setter kvotienten i nevneren, eller 3 2/17 og setter den gamle telleren der.

Spør hvor store delene er. Sytten femdeler er femdeler før omgjøringen og femdeler etter den; å samle fem av dem i hver hel lar hver del fortsatt være en femdel. Å si enhetene høyt («sytten femdeler er tre hele og to femdeler») fanger glippen.

Slik gjør du et blandet tall om til en uekte brøk

Å gjøre et blandet tall om til en uekte brøk kjører divisjonen baklengs: gang det hele tallet med nevneren, legg til telleren og behold nevneren. For 3 2/5 rommer de tre hele 3 × 5 = 15 femdeler, og 2 femdeler til gir 17 femdeler, så 3 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5.

Melken fra starten virker på samme måte. For 2 1/2 dl rommer de to hele desiliterne 2 × 2 = 4 halve desiliter, og én halv til gir 5/2, som er fem fyllinger med 1/2 dl-målet. OpenStax lister de samme tre grepene: «Gang det hele tallet med nevneren», «Legg telleren til produktet fra steg 1», «Skriv summen over den opprinnelige nevneren.»

Hvorfor det blir lettere når du gjør om først

Å gjøre et blandet tall om til en uekte brøk først gjør gangingen trygg, fordi den hele delen og brøkdelen følger hverandre. Ganger du 2 1/2 × 2 del for del, er det fristende å glemme halvdelen; 5/2 × 2 = 10/2 = 5 gir ingenting å glemme. Guiden om hvordan du ganger brøker viser hele metoden for blandede tall, og guiden om hvordan du trekker fra brøker viser når du må låne en hel fra et blandet tall.

Tips ved kjøkkenbordet for uekte brøker og blandede tall

Ting på kjøkkenet gjør uekte brøker og blandede tall synlige, fordi barnet kan telle delene og se de hele bli til. Ti minutter med mat og en blyant gjør mer enn en side med drill.

• Pizzastykker: Del to pizzaer i firedeler og legg fram 7 stykker. Spør hvor mange firedeler det er (7/4), så hvor mange hele pizzaer dere kan bygge opp igjen (1), og hvor mange stykker som er til overs (3).
• Desilitermål: Fyll en bolle med 2 1/2 dl ris med bare 1/2 dl-målet og tell fyllingene. Gjenta med 1/4 dl-målet for 1 3/4 dl, som tar 7 fyllinger, så 1 3/4 = 7/4.
• En tallinje: Tegn en linje fra 0 til 4 og merk hver femdel. Tell 17 femdeler fra 0 og se hvor du havner: 2 merker forbi 3, så 17/5 = 3 2/5.

Si enhetene høyt

Å si navnet på enheten holder nevneren på plass. «Ni halve er fire hele og en halv» er lettere å få riktig enn «ni over to er fire og en over to», og den muntlige versjonen viser hvorfor tallet under brøkstreken ikke kan endres. Guiden om brøk forklart for foreldre bruker det samme tellespråket for teller og nevner.

Slik sjekker du framgangen med uekte brøker og blandede tall

Fem korte spørsmål viser om uekte brøker og blandede tall har satt seg. Be barnet si hvert steg, fordi et riktig svar fra en gjetning skjuler et hull.

• Enkel omgjøring: Skriv 11/4 som et blandet tall. Svaret er 2 3/4, fordi 11 : 4 = 2 med rest 3.
• Tilbake igjen: Skriv 4 1/3 som en uekte brøk. Svaret er 13/3, fordi 4 × 3 + 1 = 13.
• Må forkortes: Skriv 14/4 som et blandet tall. Svaret er 3 2/4, som forkortes til 3 1/2.
• Sammenligning: Spør hva som er størst, 9/4 eller 2 1/2. Brøken 9/4 er 2 1/4, så 2 1/2 er størst.
• Plassering: Spør mellom hvilke to hele tall 23/5 ligger. Brøken 23/5 = 4 3/5, så den ligger mellom 4 og 5.

En test begge veier

En test begge veier gjør om den samme mengden i begge retninger på ett ark: gjør 19/6 om til et blandet tall (3 1/6), og gjør så svaret om tilbake. Gir rundturen 19/6, sitter metoden. Gjenta hver uke med nye tall, og gå videre etter to feilfrie uker.

Siden med mattespill for 4. trinn samler øving for året da denne ferdigheten kommer.

Vanlige feil og spesialtilfeller

Fire feil står bak de fleste gale svarene med uekte brøker og blandede tall.

• Å endre nevneren: Å skrive 17/5 som 3 2/3 bytter femdeler med tredjedeler. Behold den opprinnelige nevneren.
• Å legge sammen i stedet for å gange: Å gjøre 3 2/5 om til (3 + 2)/5 = 5/5 teller hver hel som bare én femdel. Gang først: 3 × 5 + 2 = 17, så svaret er 17/5.
• Å glemme å forkorte: Å la 22/6 stå som 3 4/6 er riktig, men uferdig når arket ber om enklest mulig form; 3 2/3 er svaret som forventes. Guiden om hvordan du forkorter brøker dekker brøkdelen.
• Å miste resten: Å skrive 17/5 som 3 mister to femdeler. Resten er brøkdelen, så den må være med.

Spesialtilfeller som er verdt et minutt

Spesialtilfeller dukker opp når resten er 0 eller tallet er negativt. En uekte brøk med rest 0 er et helt tall: 12 : 4 = 3 med rest 0, så 12/4 = 3, og ingen skriver 3 0/4.

Et negativt blandet tall setter minustegnet foran hele mengden. Tallet −1 1/2 betyr −(1 + 1/2), som er −3/2, og ikke −1 + 1/2, som ville vært −1/2. Gjør om den positive delen, 1 1/2 = 3/2, og sett tegnet tilbake.

Sjekklisten din og neste steg for blandede tall

• Kjenn den igjen: en brøk er uekte når telleren er lik eller større enn nevneren.
• Til et blandet tall: del; kvotienten er den hele delen, og resten er den nye telleren.
• Til en uekte brøk: gang det hele tallet med nevneren, og legg så til telleren.
• Samme nevner: størrelsen på delene endrer seg aldri, uansett retning.
• Gjør ferdig: forkort brøkdelen og les instruksjonene om hvilken form de vil ha.

Divisjon med rest bærer hvert eneste av disse stegene, så kort daglig øving lønner seg. MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og daglig øving på 33 språk, pluss sanntidsdueller for 2–5 spillere for hele familien. Tjueto av spillene kan spilles gratis i nettleseren uten innlogging, og 30 utskrivbare oppgaveark kommer med fasit.