Fracciones impropias y números mixtos: qué son y cómo convertirlos

La receta pide 2 1/2 tazas de harina, y el único medidor limpio del cajón es de 1/2 taza. Tu hijo cuenta los cacitos: 1, 2, 3, 4, 5. Cinco medias tazas son 5/2, y 5/2 es la misma cantidad que 2 1/2, que es toda la idea de las fracciones impropias y los números mixtos en un recuento de cacitos.

¿Qué son las fracciones impropias y los números mixtos?

Las fracciones impropias y los números mixtos son dos formas de escribir una cantidad que vale 1 o más. La fracción impropia 7/4 cuenta siete cuartos; el número mixto 1 3/4 dice lo mismo como un entero y tres cuartos de sobra.

Una fracción es propia cuando su numerador es menor que su denominador, como 3/4, e impropia cuando el numerador es igual o mayor. OpenStax Prealgebra la define exactamente así: «la fracción a/b es propia si a < b e impropia si a ≥ b». El mismo capítulo dice que «un número mixto consta de un número entero y una fracción».

Los números enteros encajan en el mismo dibujo. Cualquier entero se puede escribir sobre 1, así que 3 = 3/1, y una fracción impropia cuyo numerador es múltiplo del denominador es un entero disfrazado: 8/4 = 2, porque ocho cuartos llenan dos enteros.

Por qué el colegio enseña las dos formas

El colegio enseña las dos formas porque cada una es más cómoda para una tarea distinta. Un número mixto muestra de un vistazo el tamaño de una cantidad (1 3/4 está entre 1 y 2), y una fracción impropia es más fácil de multiplicar y dividir.

En España, el currículo de Educación Primaria de la LOMLOE (Real Decreto 157/2022) se limita en el segundo ciclo, 3.º y 4.º de primaria (8 a 10 años), a las «fracciones propias con denominador hasta 12», y en el tercer ciclo, 5.º y 6.º (10 a 12 años), amplía a las «fracciones y decimales para expresar cantidades en contextos de la vida cotidiana». Los estándares Common Core de Estados Unidos empiezan en 4.º grado (9 a 10 años): el estándar 4.NF.B.3b pide descomponer una fracción en una suma de fracciones con el mismo denominador, con el ejemplo «2 1/8 = 1 + 1 + 1/8 = 8/8 + 8/8 + 1/8», y el 4.NF.B.3c pide «sumar y restar números mixtos con el mismo denominador, por ejemplo sustituyendo cada número mixto por una fracción equivalente». En Inglaterra, el currículo nacional pide en Year 5 (9 a 10 años) «reconocer los números mixtos y las fracciones impropias y pasar de una forma a la otra».

Cómo pasar una fracción impropia a número mixto paso a paso

Pasar una fracción impropia a número mixto es una división con resto. La raya de fracción ya significa «dividido entre», y así lo dice el estándar Common Core 5.NF.B.3: «interpretar una fracción como la división del numerador entre el denominador (a/b = a ÷ b)». Este es el caso de 17/5.

1. Divide el numerador entre el denominador. 17 ÷ 5 = 3 y resto 2, porque 3 × 5 = 15 y 17 − 15 = 2.
2. Escribe el cociente como parte entera. El cociente es 3, así que el número mixto empieza por 3.
3. Escribe el resto como nuevo numerador. El resto, 2, pasa a ser el numerador de la parte fraccionaria.
4. Deja el mismo denominador. Los trozos siguen siendo quintos, así que el denominador sigue siendo 5, y 17/5 = 3 2/5.
5. Simplifica la parte fraccionaria. Para 22/6, 22 ÷ 6 = 3 y resto 4, lo que da 3 4/6, y 4/6 se divide entre 2 para quedar 3 2/3.

La división del paso 1 es la misma que los niños encuentran en la división larga, donde el resto es la parte que no llega a formar otro grupo. Saber rápido las tablas de dividir acelera cada conversión.

Juega gratis en el navegadorDivisiones3.º de primaria y +

El fallo más común: cambiar el denominador

El denominador no cambia nunca en una conversión, y cambiarlo es el error más frecuente. Un niño que divide 17 entre 5 escribe a veces 3 2/3, poniendo el cociente abajo, o 3 2/17, poniendo ahí el numerador antiguo.

Pregunta de qué tamaño son los trozos. Diecisiete quintos son quintos antes de la conversión y quintos después; agrupar cinco de ellos en cada entero deja cada trozo como un quinto. Decir las unidades en voz alta («diecisiete quintos son tres enteros y dos quintos») detecta el despiste.

Cómo pasar un número mixto a fracción impropia

Pasar un número mixto a fracción impropia recorre la división al revés: multiplica el entero por el denominador, suma el numerador y deja el denominador. Para 3 2/5, los tres enteros tienen 3 × 5 = 15 quintos, y 2 quintos más hacen 17 quintos, así que 3 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5.

La harina del principio funciona igual. Para 2 1/2 tazas, las dos tazas enteras tienen 2 × 2 = 4 medias tazas, y 1 media taza más da 5/2, que son cinco cacitos de 1/2 taza. OpenStax enumera los mismos tres movimientos: «multiplica el número entero por el denominador», «suma el numerador al producto del paso 1» y «escribe la suma final sobre el denominador original».

Por qué convertir primero facilita las cuentas

Pasar primero un número mixto a fracción impropia hace segura la multiplicación, porque la parte entera y la fraccionaria viajan juntas. Multiplicar 2 1/2 × 2 por partes tienta a los niños a perder la mitad; 5/2 × 2 = 10/2 = 5 no deja nada que perder. La guía de cómo multiplicar fracciones muestra el método completo con números mixtos, y la de cómo restar fracciones muestra cuándo hay que pedir prestado un entero a un número mixto.

Consejos en la cocina para las fracciones impropias y los números mixtos

Los objetos de la cocina hacen visibles las fracciones impropias y los números mixtos, porque el niño puede contar los trozos y ver cómo se forman los enteros. Diez minutos con comida y un lápiz hacen más que una página de ejercicios.

• Porciones de pizza: Corta dos pizzas en cuartos y pon 7 porciones. Pregunta cuántos cuartos hay (7/4), luego cuántas pizzas enteras se pueden rehacer (1) y cuántas porciones sobran (3).
• Tazas medidoras: Llena un cuenco con 2 1/2 tazas de arroz usando solo la de 1/2 taza y cuenta los cacitos. Repite con la de 1/3 de taza para 1 2/3 tazas, que necesita 5 cacitos, así que 1 2/3 = 5/3.
• Una recta numérica: Dibuja una recta del 0 al 4 y marca todos los quintos. Cuenta 17 quintos desde el 0 y mira dónde llegas: 2 marcas después del 3, así que 17/5 = 3 2/5.

Di las unidades en voz alta

Decir el nombre de la unidad mantiene el denominador en su sitio. «Nueve medios son cuatro enteros y un medio» es más fácil de acertar que «nueve partido por dos es cuatro y uno partido por dos», y la versión hablada muestra por qué el denominador no puede cambiar. La guía de las fracciones para padres usa el mismo lenguaje de contar para numeradores y denominadores.

Cómo comprobar los avances con fracciones impropias y números mixtos

Cinco preguntas cortas muestran si las fracciones impropias y los números mixtos se han entendido. Pide a tu hijo que diga cada paso, porque un acierto por intuición esconde una laguna.

• Conversión básica: Escribe 11/4 como número mixto. La respuesta es 2 3/4, porque 11 ÷ 4 = 2 y resto 3.
• Al revés: Escribe 4 1/3 como fracción impropia. La respuesta es 13/3, porque 4 × 3 + 1 = 13.
• Hay que simplificar: Escribe 14/4 como número mixto. La respuesta es 3 2/4, que se simplifica a 3 1/2.
• Comparar: Pregunta qué es mayor, 9/4 o 2 1/2. La fracción 9/4 es 2 1/4, así que 2 1/2 es mayor.
• Situar: Pregunta entre qué dos números enteros está 23/5. La fracción 23/5 = 4 3/5, así que está entre 4 y 5.

Una prueba de ida y vuelta

Una prueba de ida y vuelta convierte la misma cantidad en los dos sentidos en una sola página: pasa 19/6 a número mixto (3 1/6) y luego devuelve el resultado a fracción. Si el viaje de vuelta da 19/6, el método está firme. Repítela cada semana con números nuevos y avanza tras dos semanas sin fallos.

La página del juego de matemáticas para cuarto reúne práctica para el curso en que esta habilidad llega en Estados Unidos.

Errores frecuentes y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos con fracciones impropias y números mixtos.

• Cambiar el denominador: Escribir 17/5 como 3 2/3 cambia quintos por tercios. Conserva el denominador original.
• Sumar en lugar de multiplicar: Convertir 3 2/5 en (3 + 2)/5 = 5/5 cuenta cada entero como un solo quinto. Multiplica primero: 3 × 5 + 2 = 17, así que el resultado es 17/5.
• Olvidar simplificar: Dejar 22/6 como 3 4/6 es correcto pero está sin terminar cuando la ficha pide la forma más simple; 3 2/3 es la respuesta esperada. La guía de cómo simplificar fracciones cubre la parte fraccionaria.
• Perder el resto: Escribir 17/5 como 3 pierde dos quintos. El resto es la parte fraccionaria, así que tiene que aparecer.

Casos límite que merecen un minuto

Los casos límite aparecen cuando el resto es 0 o el número es negativo. Una fracción impropia con resto 0 es un número entero: 12 ÷ 4 = 3 y resto 0, así que 12/4 = 3, y nadie escribe 3 0/4.

Un número mixto negativo pone el signo menos delante de toda la cantidad. El número −1 1/2 significa −(1 + 1/2), que es −3/2, y no −1 + 1/2, que sería −1/2. Convierte la parte positiva, 1 1/2 = 3/2, y vuelve a poner el signo.

Tu lista de comprobación y siguientes pasos con los números mixtos

• Reconócela: una fracción es impropia cuando su numerador es igual o mayor que su denominador.
• A número mixto: divide; el cociente es la parte entera y el resto es el nuevo numerador.
• A fracción impropia: multiplica el entero por el denominador y suma el numerador.
• Mismo denominador: el tamaño de los trozos no cambia en ningún sentido.
• Termina: simplifica la parte fraccionaria y lee en qué forma pide el resultado la ficha.

La división con resto sostiene cada uno de estos pasos, así que una práctica diaria corta da fruto. MathIt es una app gratuita para iOS y Android con unos 90 tipos de juego, dificultad adaptativa y práctica diaria en 33 idiomas, además de batallas en tiempo real de 2 a 5 jugadores para toda la familia. Veintidós de sus juegos se juegan gratis en el navegador sin registro, y 30 fichas imprimibles incluyen solucionario.