Razones explicadas: qué es una razón y cómo encontrar razones equivalentes

Una receta de tortitas pide 3 tazas de harina por cada 2 de leche, los deberes de tu hijo de sexto piden razones equivalentes, y la botella de limpiador dice que se diluya 3 : 1. Las razones aparecen en los tres casos, y funcionan con una sola regla: lo que hagas a un término, se lo haces al otro. Cuando esa regla está firme, simplificar razones, encontrar razones equivalentes y adaptar una receta pasan a ser el mismo movimiento.

¿Qué es una razón?

Una razón es una comparación entre dos cantidades que dice cuánto hay de una por cada cantidad de la otra. Si un bol tiene 2 cuentas rojas por cada 3 azules, la razón de rojas a azules es 2 : 3.

La misma razón tiene tres formas habituales de escribirse: 2 : 3 con dos puntos, «2 es a 3» con palabras y 2/3 como fracción. Las tres significan «por cada 2 de lo primero hay 3 de lo segundo», y el primer número siempre corresponde a lo primero que se nombra.

En España, el currículo de Educación Secundaria Obligatoria de la LOMLOE recoge el saber «Razones y proporciones: comprensión y representación de relaciones cuantitativas», que se trabaja en 1.º y 2.º de ESO (12 a 14 años), y la primaria ya resuelve problemas de proporcionalidad con «la igualdad entre razones» en 5.º y 6.º. En Estados Unidos, el estándar Common Core 6.RP.A.1 pide en sexto grado (11 a 12 años) entender el concepto de razón y usar su lenguaje. Su propio ejemplo es una pajarera con una razón de alas a picos de 2 : 1, porque por cada 2 alas había 1 pico.

Razones parte a parte y parte a todo

Una razón parte a parte compara una parte con otra, y una razón parte a todo compara una parte con el total. En el bol de cuentas, rojas a azules es 2 : 3 (parte a parte), mientras que rojas a todas es 2 : 5 (parte a todo), porque 2 + 3 = 5 porciones forman el total.

Esa diferencia decide la fracción. Con 2 rojas por cada 3 azules, las cuentas rojas son 2/5 del bol y las azules 3/5, es decir, el 40 % y el 60 %. Leer 2 : 3 como «dos tercios son rojas» es el error más frecuente con las razones.

Un diagrama de barras hace visibles las porciones. Dibuja 2 casillas para el rojo y 3 para el azul; si el bol tiene 10 cuentas, las 5 casillas se reparten 10 a partes iguales, así que cada casilla vale 2, las rojas son 2 × 2 = 4 y las azules 3 × 2 = 6.

Cómo simplificar razones y encontrar razones equivalentes, paso a paso

Las razones equivalentes describen la misma relación, y se encuentran multiplicando o dividiendo los dos términos por el mismo número. Simplificar es el sentido de dividir, y ampliar es el sentido de multiplicar.

1. Escribe la razón en el orden de las palabras. «Harina a leche» es 3 : 2, y «leche a harina» es 2 : 3.
2. Comprueba que los dos términos usan la misma unidad. Treinta minutos a 2 horas pasa a ser 30 : 120 cuando los dos están en minutos.
3. Busca el máximo común divisor de los dos términos. Para 12 : 18, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12, los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18, y el mayor que comparten es 6.
4. Divide los dos términos entre ese número para simplificar. 12 ÷ 6 = 2 y 18 ÷ 6 = 3, así que 12 : 18 se simplifica a 2 : 3.
5. Multiplica los dos términos por el mismo número para ampliar. 2 : 3 por 2 es 4 : 6, por 3 es 6 : 9 y por 4 es 8 : 12, y todas son equivalentes a 2 : 3.
6. Comprueba el resultado. Vuelve a simplificar tu respuesta; una razón equivalente siempre vuelve a la misma forma más simple.

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Cómo saber si dos razones forman una proporción

Dos razones son equivalentes cuando se simplifican a la misma razón, y entonces forman una proporción. Una segunda prueba, la de los productos cruzados, da el mismo veredicto en una línea: para a : b y c : d, multiplica a × d y b × c; si los dos productos coinciden, las razones son equivalentes. En los libros de texto se dice que el producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Toma 4 : 6 y 6 : 9. Al simplificar sale 2 : 3 las dos veces, y los productos cruzados coinciden: 4 × 9 = 36 y 6 × 6 = 36. Ahora toma 3 : 4 y 5 : 6, donde 3 × 6 = 18 y 4 × 5 = 20, así que no son equivalentes aunque cada término haya crecido 2.

Los productos cruzados son rápidos, pero esconden la razón por la que funcionan. La guía práctica del What Works Clearinghouse sobre la enseñanza de fracciones recomienda desarrollar la comprensión de las estrategias para resolver problemas de razones, tasas y proporciones antes de presentar los productos cruzados como procedimiento.

Razón, fracción o porcentaje

Una razón, una fracción y un porcentaje pueden describir el mismo bol de cuentas, pero cada uno responde a una pregunta distinta. La razón compara las partes, la fracción nombra una parte del total y el porcentaje lleva esa fracción a 100.

Pasar una razón a porcentaje

Una razón parte a parte se convierte en porcentaje en dos movimientos: suma las partes para obtener el total y divide la parte que te interesa entre ese total. Para 2 : 3, el total son 5 porciones, las rojas son 2/5, y 2 ÷ 5 = 0,4, que es el 40 %.

El estándar 6.RP.A.3c pide calcular un porcentaje de una cantidad como una tasa por cada 100, que es una razón con el segundo término fijado en 100. La guía sobre cómo calcular porcentajes da ese paso más, y la explicación de fracciones para padres cubre el lado de la parte de un todo.

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Tablas de proporcionalidad, reducción a la unidad y recetas

Una tabla de proporcionalidad pone razones equivalentes en filas o columnas, así que puedes leer cualquier cantidad que necesites. Sexto grado la usa como herramienta principal: el estándar 6.RP.A.3 nombra las tablas de razones equivalentes, los diagramas de barras, las rectas numéricas dobles y las ecuaciones como formas de resolver problemas de razones.

Empieza la tabla con la razón original y multiplica los dos términos por 2, 3 y 4. Para 2 : 3 eso da 4 : 6, 6 : 9 y 8 : 12, y cada columna sigue valiendo 2/3.

La reducción a la unidad lleva la razón a una unidad de la segunda cantidad. Si 4 cuadernos cuestan 6 €, un cuaderno cuesta 6 € ÷ 4 = 1,50 €, y 10 cuadernos cuestan 10 × 1,50 € = 15 €. Es el mismo razonamiento que la regla de tres que se enseña en España y Latinoamérica. Los estándares usan un ejemplo de césped: si se cortan 4 jardines en 7 horas, en 35 horas, que son 5 × 7, se cortan 5 × 4 = 20 jardines.

Cómo adaptar una receta

Adaptar una receta significa encontrar el factor que lleva de la cantidad antigua a la nueva y aplicarlo a todos los ingredientes. Una receta con 3 tazas de harina por 2 tazas de leche da 12 tortitas; para 18 tortitas el factor es 18 ÷ 12 = 1,5.

La harina pasa a 3 × 1,5 = 4,5 tazas y la leche a 2 × 1,5 = 3 tazas, así que la nueva masa es 4,5 : 3. Esa razón se simplifica otra vez a 3 : 2, lo que confirma que la masa sabrá igual.

El mismo movimiento sirve para mezclar pintura. Para un verde hecho con 2 partes de amarillo por 1 de azul, una mezcla de 9 litros tiene 2 + 1 = 3 partes, cada parte es 9 ÷ 3 = 3 litros, y necesitas 6 litros de amarillo y 3 de azul. La guía de decimales para padres ayuda cuando aparece un factor como 1,5 o 0,75.

Cómo comprobar que las razones se han entendido

Cinco comprobaciones rápidas muestran si un niño o un adulto entiende las razones.

• El lenguaje de las razones: Pregunta qué significa 3 : 1 en una mezcla de zumo y agua 3 : 1. «Tres vasos de zumo por cada vaso de agua» es la respuesta que hay que oír.
• La forma más simple: Pide 15 : 25. La respuesta es 3 : 5, dividiendo los dos términos entre 5.
• Una razón equivalente: Pide una razón equivalente a 2 : 3 cuyo primer término sea 12. La respuesta es 12 : 18, porque 12 ÷ 2 = 6 y 3 × 6 = 18.
• Una pregunta parte a todo: Con 12 chicos y 15 chicas en una clase, pregunta qué fracción son chicas. La respuesta es 15/27, que se simplifica a 5/9.
• Un precio unitario: Pregunta cuánto cuestan 7 artículos si 4 cuestan 6 €. La respuesta es 10,50 €, a partir de 1,50 € por unidad.

Una prueba de cinco minutos

Una prueba de cinco minutos con tres preguntas mezcladas (simplificar, equivalencia, receta) dice más que una ficha larga de un solo tipo, siempre que pidas el razonamiento.

El currículo nacional de Inglaterra espera las mismas destrezas a una edad parecida. Sus programas de matemáticas piden en Year 6 (10 a 11 años) resolver problemas sobre los tamaños relativos de 2 cantidades, y la etapa siguiente añade la notación de razones y su simplificación.

Las tablas de multiplicar sostienen cada una de estas comprobaciones, y la ficha de multiplicación para sexto ofrece práctica imprimible con solucionario.

Errores frecuentes con las razones y casos límite

Cuatro errores explican la mayoría de los fallos en los problemas de razones, y cada uno tiene un remedio de una línea.

• Sumar en lugar de multiplicar: Convertir 2 : 3 en 4 : 5 sumando 2 a cada término cambia la mezcla, porque 2/3 es aproximadamente 0,67 y 4/5 es 0,8. Multiplica los dos términos por el mismo número: 2 : 3 pasa a 4 : 6.
• Cambiar el orden: Chicos a chicas 12 : 15 se simplifica a 4 : 5, y chicas a chicos es 5 : 4. Vuelve a leer la pregunta y escribe primero lo que se nombra primero.
• Leer parte a parte como parte a todo: Una mezcla 2 : 3 de rojo a azul es 2/5 roja, y llamarla 2/3 roja exagera la parte roja. Suma las partes para hallar el total antes de escribir una fracción.
• Mezclar unidades: 30 minutos a 2 horas es 30 : 120 = 1 : 4, y escribir 30 : 2 hace que los minutos parezcan más que las horas. Pasa los dos términos a la misma unidad antes de simplificar.

Caso límite: etiquetas de dilución y escalas de mapas

Una etiqueta que dice «diluir 3 : 1» usa el lenguaje de las razones, así que lee qué parte va primero antes de verter. Si la etiqueta significa 3 partes de agua por 1 de concentrado, un cubo de 2 litros tiene 3 + 1 = 4 partes, cada parte es 2000 ÷ 4 = 500 ml, y añades 1500 ml de agua a 500 ml de concentrado, con lo que el concentrado es el 25 % de la mezcla.

La escala de un mapa es una razón con los dos términos en la misma unidad. En un mapa 1 : 25 000, 4 cm en el papel representan 4 × 25 000 = 100 000 cm en el terreno, que es 1 km.

Tu lista de comprobación de razones y siguientes pasos

• Orden: escribe la razón en el orden de las palabras.
• Unidades: pon primero los dos términos en la misma unidad.
• Simplifica: divide los dos términos entre su máximo común divisor.
• Amplía: multiplica o divide los dos términos por el mismo número, nunca sumes.
• Comprueba: simplifica las dos razones o compara los productos cruzados.
• Total: suma las partes antes de pasar una razón a fracción o a porcentaje.

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