Odejmowanie pisemne z pożyczaniem dla rodziców: dlaczego dziesiątka staje się dziesięcioma jednościami

Uczeń utknął na 52 − 27 w słupku, a ty pamiętasz z własnej szkoły tylko „pożyczam jedynkę”. Odejmowanie pisemne z pożyczaniem to ta sama metoda, której się uczyłeś, tylko dziś nauczyciele częściej pokazują ją najpierw na klockach albo monetach, a dopiero potem na przekreślonych cyfrach. Kilka dziesięciogroszówek i groszówek na kuchennym stole pokazuje, dlaczego to działa, od 52 − 27 aż po odejmowanie pisemne liczb trzycyfrowych.

Co to jest odejmowanie pisemne z pożyczaniem?

Odejmowanie z pożyczaniem to odejmowanie pisemne, w którym jedną jednostkę z wyższego rzędu zamienia się na dziesięć jednostek rzędu niższego, bo górna cyfra w kolumnie jest za mała. W 52 − 27 kolumna jedności prosi o 2 − 7, co nie ma wyniku wśród liczb naturalnych, więc jedną z 5 dziesiątek rozmienia się na 10 jedności. Liczba 52 staje się 4 dziesiątkami i 12 jednościami, a obie kolumny da się odjąć.

To rozmienienie nigdy nie zmienia wartości. Pięćdziesiąt dwa grosze to te same pieniądze, czy leżą jako 5 dziesięciogroszówek i 2 groszówki, czy jako 4 dziesięciogroszówki i 12 groszówek. Pożyczanie to inny zapis jednej liczby, tak żeby odejmowanie do niej pasowało, a ten pomysł opiera się na wartości pozycyjnej cyfr wyjaśnionej dla rodziców.

Pożyczanie czy rozmienianie: skąd dwie nazwy

Pożyczanie to tradycyjna polska nazwa tego kroku i opisuje pożyczkę, która nigdy się nie zdarza. Niczego nie oddaje się kolumnie dziesiątek; jedna dziesiątka zostaje rozbita na dziesięć jedności i zostaje w 52. Poradnik What Works Clearinghouse Assisting Students Struggling with Mathematics zaleca jasny i zwięzły język matematyczny, a „rozmieniam dziesiątkę” nazywa ruch, który dziecko widzi na klockach.

Słowo „pożyczam” jest w porządku i w domu, i w szkole. Używaj tego, którego używa nauczyciel dziecka, żeby słyszało jedno słownictwo.

Jak uczyć odejmowania pisemnego liczb dwucyfrowych krok po kroku

Odejmowania pisemnego z pożyczaniem najłatwiej uczyć najpierw na przedmiotach, a dopiero potem na cyfrach. Połóż na stole 5 dziesięciogroszówek i 2 groszówki jako 52 i obok zapisz na kartce 52 nad 27 w słupku, żeby każdy ruch monetami miał swój znak na papierze.

1. Ustaw rzędy pod sobą. Zapisz 27 pod 52, jedności pod jednościami i dziesiątki pod dziesiątkami. Krzywa kolumna powoduje więcej złych wyników niż samo pożyczanie.
2. Zacznij od kolumny jedności. Zapytaj, czy 2 groszówkami da się zapłacić 7 groszy. Nie da się, więc ta kolumna wymaga rozmienienia, a decyzja zapada, zanim cokolwiek się odejmie.
3. Rozmień jedną dziesiątkę na dziesięć jedności. Zamień jedną dziesięciogroszówkę na 10 groszówek. Na papierze przekreśl 5 i napisz nad nią 4, potem przekreśl 2 i napisz nad nią 12. Na stole leżą teraz 4 dziesięciogroszówki i 12 groszówek.
4. Odejmij jedności. Zabierz 7 groszówek: 12 − 7 = 5. Zapisz 5 pod kolumną jedności.
5. Odejmij dziesiątki. Zabierz 2 dziesięciogroszówki: 4 − 2 = 2. Zapisz 2 pod kolumną dziesiątek i odczytaj wynik 25.
6. Sprawdź dodawaniem. Dodaj wynik i liczbę odejmowaną: 25 + 27 = 52. Jeśli suma to górna liczba, odejmowanie jest dobre.

Te same sześć kroków działa dla liczb trzycyfrowych; jedyna zmiana to, że kolumna dziesiątek też może wymagać rozmienienia setki.

Zagraj za darmo w przeglądarceOdejmowanie liczb dwucyfrowychKlasa 1–2

Decyzja, którą dzieci pomijają

Krok, który dzieci pomijają, to krok 2, czyli decyzja, czy pożyczać. Jedne pożyczają w każdym zadaniu, inne nigdy, a oba nawyki biorą się z traktowania pożyczania jak rytuału.

Zanim ołówek się ruszy, zadaj jedno pytanie na kolumnę: „Czy górna cyfra jest co najmniej tak duża jak dolna?”. Jeśli nie, rozmieniaj. To samo pytanie działa odwrotnie przy dodawaniu z przeniesieniem, dlatego ćwiczenie dodawania z przekroczeniem progu obok odejmowania pomaga w obu.

Słupek, doliczanie, wyrównywanie czy oś liczbowa

Odejmowanie pisemne z pożyczaniem to jeden z czterech sposobów odejmowania, których uczy szkoła, a amerykański Common Core prosi drugoklasistów, żeby wyjaśniali, dlaczego strategie dodawania i odejmowania działają, odwołując się do wartości pozycyjnej i własności działań (2.NBT.B.9). Oto 52 − 27 policzone na cztery sposoby:

Którą metodę wybrać

Wybierz słupek, gdy dziecko umie wyjaśnić rozmienienie na monetach albo klockach, bo działa dla liczb dowolnej wielkości. Doliczanie to metoda, której większość dorosłych używa przy kasie, i warto ją zachować jako sprawdzenie. Wyrównywanie opiera się na znajomości uzupełniania do 10 na pamięć, czyli umiejętności, którą budują rozkłady liczb.

Odejmowanie pisemne liczb trzycyfrowych i odejmowanie przez zero

Odejmowanie pisemne liczb trzycyfrowych z pożyczaniem idzie według tej samej zasady kolumna po kolumnie: najpierw jedności, potem dziesiątki, potem setki, z rozmienianiem zawsze wtedy, gdy górna cyfra jest mniejsza. Standard Common Core 2.NBT.B.7 mówi, że przy odejmowaniu liczb trzycyfrowych odejmuje się setki od setek, dziesiątki od dziesiątek i jedności od jedności, a czasem trzeba składać lub rozkładać dziesiątki albo setki.

Trudny przypadek to zero w środku, jak w 403 − 168. Kolumna jedności wymaga rozmienienia, ale nie ma dziesiątek do rozmienienia.

Rozmienienie idzie więc o jedno miejsce dalej: jedna z 4 setek staje się 10 dziesiątkami, a potem jedna z tych 10 dziesiątek staje się 10 jednościami. Górna liczba to teraz 3 setki, 9 dziesiątek i 13 jedności, czyli nadal 403 (300 + 90 + 13).

Po rozmienieniu każda kolumna to jedno proste działanie: 13 − 8 = 5, 9 − 6 = 3 i 3 − 1 = 2. Wynik to 235, a 235 + 168 = 403 go potwierdza.

Skrót przy zerach: czytaj 403 jako 40 dziesiątek

Skrót przy odejmowaniu przez zero to odczytanie dwóch pierwszych cyfr jako jednej liczby dziesiątek. Liczba 403 to 40 dziesiątek i 3 jedności; zabierz jedną dziesiątkę, a masz 39 dziesiątek i 13 jedności, co daje te same 3, 9 i 13 w jednym ruchu. Gra z wartością pozycyjną, która pyta, ile dziesiątek jest w liczbie, buduje ten nawyk.

Wyrównywanie też usuwa zero: odejmij 4 od obu liczb, a 403 − 168 staje się 399 − 164, co nie wymaga żadnego pożyczania i nadal daje 235.

Jak sprawdzać postępy dziecka

Postępy w odejmowaniu z pożyczaniem widać po kilku sygnałach, które sprawdzisz w pięć minut.

• Test wyjaśnienia: Czy dziecko umie powiedzieć, dlaczego 5 zmieniła się w 4 w 52 − 27, używając słów „dziesiątka” i „jedności”? Dziecko, które mówi „bo się pożycza” bez rozmienienia, ma regułkę, a nie model.
• Zestaw mieszany: Daj sześć zadań, trzy z pożyczaniem i trzy bez, jak 52 − 27 i 58 − 23. Poprawne decyzje we wszystkich sześciu liczą się bardziej niż tempo.
• Powtórka na monetach: Czy dziecko umie odegrać 43 − 18 dziesięciogroszówkami i groszówkami i dojść do 25? Jeśli monety działają, a papier nie, luka leży w zapisie.
• Przypadek z zerem: Spróbuj 300 − 147 (wynik 153). Dziecko, które radzi sobie tam z podwójnym rozmienieniem, jest gotowe na większe liczby.
• Sprawdzenie dodawaniem: Czy dziecko dodaje z powrotem bez proszenia? Ten nawyk łapie większość pomyłek.

W której klasie dzieci uczą się odejmowania pisemnego

W Polsce podstawa programowa edukacji wczesnoszkolnej każe w klasach 1–3 odejmować głównie w pamięci, a liczby dwucyfrowe w słupku tylko „w razie potrzeby”. Odejmowanie pisemne staje się wymaganiem w klasach 4–6, gdzie podstawa programowa matematyki mówi, że uczeń „dodaje i odejmuje liczby naturalne wielocyfrowe sposobem pisemnym”, zwykle w klasie 4. Common Core umieszcza rozmienianie w klasie 2 (2.NBT.B.5 i 2.NBT.B.7), biegłość w zakresie 1000 w klasie 3 (3.NBT.A.2), a standardowy algorytm pisemny w klasie 4 (4.NBT.B.4).

Angielski program nauczania matematyki prosi w Year 3 o odejmowanie liczb do 3 cyfr metodami pisemnymi i o sprawdzanie wyników działaniem odwrotnym. Artykuł matematyka Common Core wyjaśniona dla rodziców opisuje, dlaczego strategie przychodzą przed algorytmem.

Najczęstsze błędy przy odejmowaniu z pożyczaniem

Większość błędów przy odejmowaniu z pożyczaniem bierze się z kilku nawyków, a każdy ma w domu szybkie lekarstwo.

• Mniejsza od większej: Dziecko liczy 7 − 2 zamiast 2 − 7 i pisze 35 jako wynik 52 − 27. Niech czyta każdą kolumnę z góry na dół na głos: „dwa odjąć siedem”.
• Zapomniane zmniejszenie dziesiątek: Dziecko robi 12, ale zostawia 5, i znowu dostaje 35. Pilnuj, żeby przekreślona 5 i nowa 4 były zapisane, zanim odejmie się jedności.
• Pożyczanie za każdym razem: Dziecko rozmienia w 58 − 23 i pisze 15 w kolumnie jedności. Najpierw pytanie z kroku 2, w każdej kolumnie.
• Pominięcie zera: W 403 − 168 dziecko rozmienia od razu setkę na jedności i zapisuje 3 setki, 0 dziesiątek i 13 jedności, co daje tylko 313. Rozłóż monety albo przeczytaj liczbę jako 40 dziesiątek.
• Przesunięte kolumny: W 403 − 68 liczba 68 zapisana pod 40 zamienia zadanie w 403 − 680. Używaj zeszytu w kratkę, jedna cyfra w jednej kratce.

Darmowa karta pracy do drukuOdejmowanie — uczniów 2. klasyKarta pracy · PDF

Dlaczego warto wypatrywać wyniku 35

Zły wynik 35 dla 52 − 27 warto zauważyć, bo dają go dwa różne błędy. Odejmowanie mniejszej od większej i zapomniane zmniejszenie dziesiątek dają to samo 35, więc sam wynik nie mówi, który błąd się zdarzył. Poproś dziecko, żeby raz opowiedziało zadanie; wyjaśnienie pokaże przyczynę w niecałą minutę.

Twoja lista kontrolna odejmowania z pożyczaniem

• Monety albo klocki przez pierwszy tydzień: Każde rozmienienie na papierze odpowiada dziesięciogroszówce zamienionej na 10 groszówek na stole.
• Jedno pytanie na kolumnę: „Czy górna cyfra jest co najmniej tak duża?” decyduje, czy pożyczać.
• Przekreślone cyfry zapisane w całości: Nowa 4 i nowe 12 trafiają nad kolumnę przed jakimkolwiek odejmowaniem.
• Zestawy mieszane: Połowa zadań wymaga pożyczania, a połowa nie, więc decyzja zostaje żywa.
• Zera, gdy liczby dwucyfrowe są pewne: 403 − 168 i 300 − 147 przychodzą, gdy 52 − 27 jest łatwe.
• Sprawdzaj dodawaniem: Wynik plus liczba odejmowana musi dać górną liczbę.

Krótkie codzienne sesje utrzymują kroki na świeżo między wieczorami z zadaniami domowymi. Gra matematyczna dla 2 klasy albo darmowa gra w odejmowanie online dają szybkie mieszane ćwiczenia, a aplikacja MathIt dopasowuje poziom trudności do tego, jak odpowiada dziecko.