Den Oberflächeninhalt von Quader, Prisma und Zylinder berechnen

Ihr Kind hat eine Müslipackung auf dem Tisch und ein Arbeitsblatt, das nach ihrer Oberfläche fragt, und die Lösung sagt 62, während Ihr Kind 30 herausbekommt. Diese Verwechslung zwischen der Außenseite einer Schachtel und dem Raum darin ist die häufigste in der Geometrie der 5. und 6. Klasse. Die Oberfläche berechnen braucht nur eine Idee: den Körper in flache Teile auffalten, den Flächeninhalt jedes Teils bestimmen und alles addieren.

Was ist die Oberfläche eines Körpers?

Die Oberfläche ist der gesamte Flächeninhalt aller Flächen eines Körpers. OpenStax Prealgebra 2e, Abschnitt 9.6 erklärt sie an einer gestrichenen Kiste: Die Farbmenge, die man für die Außenseite jeder Kiste braucht, ist die Oberfläche, ein Flächenmaß für den gesamten Inhalt aller Seiten. Geschenkpapier, Farbe und der Karton einer Schachtel sind alles Fragen nach der Oberfläche.

Das Werkzeug, das die Oberfläche sichtbar macht, ist das Netz, das flache Muster, das entsteht, wenn man eine Schachtel an den Kanten aufschneidet und auslegt. Der bayerische LehrplanPLUS für das Gymnasium, Jahrgangsstufe 5 verlangt, „auch unter Verwendung von Netzen und Schrägbildern“ Oberflächeninhalte von Quadern und einfachen zusammengesetzten Körpern zu bestimmen; der Zylinder folgt dort in der 8. Klasse. In den USA verlangt der Common-Core-Standard 6.G.A.4 in der 6. Klasse dasselbe mit Netzen aus Rechtecken und Dreiecken, und der Standard 7.G.B.6 erweitert es in der 7. Klasse auf Würfel und gerade Prismen.

Die Oberfläche baut auf dem Flächeninhalt des Rechtecks auf, Länge mal Breite. Wenn das noch wackelt, erklärt der Leitfaden zu Flächeninhalt und Umfang es zuerst.

Warum die Oberfläche Flächeneinheiten hat und keine Raumeinheiten

Die Oberfläche misst man in Flächeneinheiten, weil jede Seite eine ebene Fläche ist, eine Länge mal eine andere. Eine Fläche von 5 cm mal 3 cm bedeckt 15 Quadratzentimeter, geschrieben 15 cm². Das Volumen multipliziert drei Längen, also kommt es in Raumeinheiten wie cm³ heraus.

Die NIST-Seite zu den SI-Einheiten zeigt dasselbe Muster für das metrische System: Fläche in m² und Volumen in m³. Die kleine 2 und die kleine 3 zählen, wie viele Längen multipliziert wurden. Wenn Ihr Kind für eine Oberfläche „62 cm³“ schreibt, verrät schon die Einheit die Verwechslung.

Die Oberfläche eines Quaders berechnen, Schritt für Schritt

Die Oberfläche eines Quaders ist die Summe seiner 6 Rechteckflächen, die in 3 gleichen Paaren vorkommen. Nehmen Sie einen Quader mit 5 Einheiten Länge, 3 Einheiten Breite und 2 Einheiten Höhe.

1. Die drei Kanten benennen. Schreiben Sie l = 5, b = 3 und h = 2. Jede Fläche des Quaders verwendet zwei dieser drei Zahlen.
2. Das Netz zeichnen. Skizzieren Sie die sechs aufgefalteten Rechtecke wie im Quaderbild und schreiben Sie die Maße auf jedes: zweimal 5 × 3, zweimal 5 × 2 und zweimal 3 × 2.
3. Eine Fläche aus jedem Paar berechnen. Deckfläche: 5 · 3 = 15. Vorderfläche: 5 · 2 = 10. Seitenfläche: 3 · 2 = 6.
4. Die drei Flächen addieren. 15 + 10 + 6 = 31. Das ist die halbe Schachtel, eine Fläche aus jedem Paar.
5. Die Summe verdoppeln. 2 · 31 = 62. Die Formel O = 2(l·b + l·h + b·h) erledigt die Schritte 3 bis 5 in einer Zeile: 2(15 + 10 + 6) = 62.
6. Die Einheit schreiben und prüfen. Das Ergebnis ist 62 Flächeneinheiten. Zur Probe alle sechs Flächen einzeln addieren: 15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62.

Die Formel 2(l·b + l·h + b·h) und die Summe der sechs Flächen liefern dasselbe Ergebnis wegen des Distributivgesetzes, das der Leitfaden zu den Rechengesetzen der Multiplikation erklärt. OpenStax schreibt die Formel als S = 2LH + 2LW + 2WH, und sein eigenes Rechenbeispiel, ein Quader mit 14 × 9 × 17 cm, kommt auf 1.034 Quadratzentimeter.

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Wo es meistens schiefgeht: nur drei Flächen zählen

Nur die drei sichtbaren Flächen zu zählen ist der häufigste Fehler bei der Oberfläche. OpenStax weist direkt darauf hin: Von den Flächen einer Schachtel sieht man drei, und zu jeder Fläche, die einem zugewandt ist, gibt es eine weitere auf der gegenüberliegenden Seite, also insgesamt 6 Flächen.

Der zweite Fehler ist das Multiplizieren aller drei Kanten, 5 · 3 · 2 = 30, und das ist das Volumen des Quaders. Das Volumen hat einen eigenen Leitfaden, Volumen berechnen; bei der Oberfläche werden die Kanten immer nur paarweise multipliziert.

Formeln für die Oberfläche jedes Körpers im Vergleich

Alle Formeln für die Oberfläche folgen derselben Netz-Idee: Flächen auflisten, jeden Flächeninhalt bestimmen und addieren. Die Beispiele verwenden ganze Zahlen und π ≈ 3,14, wo ein Kreis vorkommt.

Die Würfelformel 6a² verwendet eine Potenz: a² heißt a · a, also hat ein Würfel mit 4 Einheiten Kantenlänge 6 Flächen mit je 16 Flächeneinheiten. Der Leitfaden zu Potenzen erklärt die Schreibweise.

Die Oberfläche eines Dreiecksprismas berechnen

Die Oberfläche eines Dreiecksprismas sind die beiden dreieckigen Grundflächen plus die drei Rechtecke, die sie verbinden. Nehmen Sie ein Prisma, dessen Grundflächen rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten 3, 4 und 5 sind, und dessen Länge 10 ist.

Jedes Dreieck hat ½ · 3 · 4 = 6, also ergeben die beiden Grundflächen 12. Die drei Rechtecke sind 3 · 10 = 30, 4 · 10 = 40 und 5 · 10 = 50, zusammen 120. Die Oberfläche ist 12 + 120 = 132 Flächeneinheiten.

Die drei Rechtecke haben alle die Länge 10, also kann man auch den Umfang des Dreiecks mit der Länge multiplizieren: (3 + 4 + 5) · 10 = 120. Diese Summe der Rechtecke heißt Mantelfläche. Zylinder und Kugel gehören nicht zu den Standards 6.G.A.4 und 7.G.B.6, aber OpenStax behandelt den Zylinder im selben Abschnitt wie den Quader.

Oberfläche am Küchentisch üben

Die Oberfläche ergibt am meisten Sinn, wenn Ihr Kind einen echten Gegenstand auffaltet. Vier Übungen brauchen nur den Altpapierkorb, einen Bleistift und ein Lineal.

Eine Müslipackung auffalten. Öffnen Sie die geklebten Laschen, legen Sie die Packung flach hin, und Sie haben ihr Netz. Messen Sie Länge, Breite und Höhe auf den Zentimeter genau, beschriften Sie jedes Feld mit seinem Flächeninhalt und addieren Sie. Vergleichen Sie dann mit 2(l·b + l·h + b·h); die Laschen, die sich an der Klebestelle überlappen, sind zusätzlicher Karton und gehören nicht zur Oberfläche.

Ein Geschenk einpacken. Eine Schachtel mit 30 × 20 × 10 cm hat Flächen von 600, 300 und 200 cm², also ist ihre Oberfläche 2(600 + 300 + 200) = 2.200 cm². Schneiden Sie ein Stück Papier etwas größer zu, damit es überlappt, und fragen Sie Ihr Kind, warum das Papier größer sein muss als das genaue Ergebnis.

Ein Dosenetikett abziehen. OpenStax beschreibt diese Übung: Schneidet man das Etikett vorsichtig von der Dose ab und rollt es aus, sieht man, dass es ein Rechteck ist. Die Breite des Etiketts ist der Umfang der Dose, 2πr, und seine Höhe ist die Höhe der Dose. Der Leitfaden zu Umfang und Fläche eines Kreises erklärt 2πr und πr².

Der Beispielzylinder hat r = 3 und h = 10 und behält π bis zum letzten Schritt:

• Zwei Kreise: 2 · π · 3² = 2 · π · 9 = 18π.
• Das Rechteck: 2 · π · 3 · 10 = 60π.
• Summe: 18π + 60π = 78π. Mit π ≈ 3,14 gilt 78 · 3,14 = 244,92 Flächeneinheiten.

Die Farbe für ein Zimmer ausrechnen. Ein Kinderzimmer mit 4 m Länge, 3 m Breite und 2,5 m Höhe hat zwei Wände mit 4 · 2,5 = 10 m² und zwei mit 3 · 2,5 = 7,5 m², also haben die Wände zusammen 2 · 10 + 2 · 7,5 = 35 m². Ziehen Sie Tür und Fenster ab und vergleichen Sie mit der Ergiebigkeit, die auf dem Farbeimer steht.

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Die Regel: zuerst das Netz zeichnen

Das Netz vor jeder Formel zu zeichnen ist die Gewohnheit, die die meisten Fehler verhindert. Ein Netz zeigt jede Fläche genau einmal, also fällt eine fehlende oder doppelte Fläche sofort auf. Sobald Ihr Kind das Netz eines Quaders, eines Prismas und einer Pyramide ohne Hilfe zeichnen kann, werden die Formeln zu Abkürzungen für etwas, das es schon sieht.

So prüfen Sie den Fortschritt bei der Oberfläche

Der Fortschritt bei der Oberfläche zeigt sich an fünf kurzen Aufgaben. Geben Sie eine Woche lang eine Aufgabe pro Tag und achten Sie darauf, welche noch langsam geht.

• Quader: die Oberfläche eines Quaders mit 4 × 3 × 2 berechnen. Die Antwort ist 2(12 + 8 + 6) = 52 Flächeneinheiten.
• Würfel: die Oberfläche eines Würfels mit 5 Einheiten Kantenlänge berechnen. Die Antwort ist 6 · 25 = 150 Flächeneinheiten.
• Netz: das Netz eines Dreiecksprismas zeichnen. Es muss 2 Dreiecke und 3 Rechtecke zeigen.
• Einheiten: die Einheit für 52 und für das Volumen desselben Quaders, 24, nennen. Flächeneinheiten für das erste, Raumeinheiten für das zweite.
• Echter Gegenstand: eine Taschentuchbox ausmessen und ihre Oberfläche auf den Quadratzentimeter genau berechnen.

Ein Fünf-Minuten-Test

Ein Fünf-Minuten-Test zur Oberfläche besteht aus einem Quader, einem Würfel und einem Prisma, jeweils mit gezeichnetem Netz. Bewerten Sie das Netz und das Rechnen getrennt.

Ein richtiges Netz mit falscher Summe zeigt auf das Einmaleins: In einem einzigen Arbeitsblatt rechnet ein Kind in der 6. Klasse Dutzende Male Aufgaben wie 7 · 8 und 6 · 9. Das Mathespiel für die 6. Klasse und das Einmaleins-Spiel halten diese Aufgaben schnell. Ein falsches Netz verweist zurück auf die Auffalt-Übungen oben.

Typische Fehler und Sonderfälle bei der Oberfläche

Fünf Fehler verursachen die meisten falschen Ergebnisse bei der Oberfläche, und jeder hat eine kurze Lösung.

• Drei Flächen statt sechs: Das Ergebnis ist nur halb so groß. Die Summe der drei verschiedenen Flächen verdoppeln oder alle sechs auflisten.
• Alle drei Kanten multiplizieren: 5 · 3 · 2 = 30 ist das Volumen. Die Kanten paarweise multiplizieren.
• Raumeinheiten: cm³ für eine Oberfläche schreiben. Flächeninhalte bekommen immer Flächeneinheiten.
• Gemischte Einheiten: Eine Schachtel mit 0,5 m × 15 cm × 15 cm muss zuerst umgerechnet werden, auf 50 × 15 × 15 cm, und ergibt 2(750 + 750 + 225) = 3.450 cm².
• Durchmesser statt Radius: Eine Dose mit 6 Einheiten Durchmesser hat r = 3. Den Durchmesser halbieren, bevor man 2πr² + 2πrh verwendet.

Sonderfall: Doppelte Kanten ergeben die vierfache Oberfläche

Das Verdoppeln aller Kanten eines Körpers vervierfacht seine Oberfläche. Ein Quader mit 5 × 3 × 2 hat die Oberfläche 62, ein Quader mit 10 × 6 × 4 hat 2(60 + 40 + 24) = 248, also 4 · 62. Jede Fläche ist eine Länge mal eine Länge, und beide Längen werden verdoppelt, also wird jeder Flächeninhalt 2 · 2 = 4-mal so groß.

Das Volumen wächst noch schneller. Der kleine Quader fasst 30 Raumeinheiten, der große 240, also das Achtfache, weil das Volumen drei verdoppelte Längen multipliziert: 2 · 2 · 2 = 8. Der Leitfaden zum Volumen hat weitere Beispiele für dieses Wachstum.

Ihre Checkliste zur Oberfläche und die nächsten Schritte

• Zuerst das Netz: das flache Muster skizzieren und die Flächen zählen, bevor Sie rechnen.
• Paarweise: Jede Fläche verwendet zwei Kanten, nie alle drei.
• Paare: beim Quader 3 Flächeninhalte bestimmen, addieren und die Summe verdoppeln.
• Kreise: den Durchmesser halbieren, π bis zum letzten Schritt behalten und sagen, mit welchem Wert für π Sie rechnen.
• Einheiten: zuerst alles in eine Einheit umrechnen und das Ergebnis in Flächeneinheiten angeben.
• Probe: jede Fläche des Netzes einzeln addieren und mit der Formel vergleichen.

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