直方体・角柱・円柱の表面積の求め方：展開図から公式まで

テーブルの上にシリアルの箱があり、お子さんのプリントにはその表面積を求める問題。答えは62なのに、お子さんの答えは30になっている。箱の外側と内側の空間を取りちがえるのは、中学1年生の図形でいちばん多いまちがいです。表面積の求め方に必要な考えは1つだけです。立体を平らな面に開き、それぞれの面積を求めてたします。

表面積とは？

表面積とは、立体のすべての面の面積の合計です。OpenStax Prealgebra 2e の9.6節は、ペンキをぬった木箱を例に「それぞれの箱の外側をぬるのに必要なペンキの量が表面積で、すべての面の面積の合計を表す面積の量である」と説明しています。包装紙、ペンキ、箱の段ボールは、どれも表面積の問題です。

表面積を目に見えるようにする道具が展開図です。箱を辺にそって切り開き、平らに広げた形のことです。日本では小学4年生で直方体と立方体の展開図を学び、中学校学習指導要領は第1学年で「基本的な柱体や錐体，球の表面積と体積を求めること」を求めています。アメリカのCommon Coreの6.G.A.4は6年生に、長方形と三角形でできた展開図で立体を表し、その展開図を使って表面積を求めることを求め、7年生の7.G.B.6は三角形、四角形、多角形、立方体、直角柱でできた立体の面積、体積、表面積へと広げています。

表面積は、長方形の面積（縦 × 横）の上に成り立っています。そこがあやふやなら、先に面積と周りの長さの解説を読んでおきましょう。

表面積の単位がcm²でcm³ではない理由

表面積を面積の単位で表すのは、どの面も平らな面積で、長さと長さをかけたものだからです。縦5cm、横3cmの面は15cm²です。体積は3つの長さをかけるので、cm³のような体積の単位になります。

NISTのSI単位のページでも、面積はm²、体積はm³です。小さな2と3は、いくつの長さをかけたかを数えています。お子さんが表面積の答えに「62cm³」と書いたら、単位そのものが取りちがえを教えてくれます。

直方体の表面積の求め方の手順

直方体の表面積は6つの長方形の面の和で、面は同じ形の3組に分かれます。縦5、横3、高さ2の直方体で求めてみます。

1. 3つの辺に名前をつける。 縦a = 5、横b = 3、高さc = 2とします。直方体のどの面も、この3つのうち2つの数を使います。
2. 展開図をかく。 図のように6つの長方形を開いた形をかき、それぞれに大きさを書きます。5 × 3が2つ、5 × 2が2つ、3 × 2が2つです。
3. 各組から1つの面の面積を求める。 上の面は5 × 3 = 15、前の面は5 × 2 = 10、横の面は3 × 2 = 6です。
4. 3つの面積をたす。 15 + 10 + 6 = 31。これは各組から1つずつ、箱の半分にあたります。
5. 2倍する。 2 × 31 = 62。公式2(ab + ac + bc)は、手順3から5を1行でまとめたもので、2(15 + 10 + 6) = 62です。
6. 単位を書いて確かめる。 答えは62です（長さがcmならcm²）。6つの面を1つずつたして確かめます。15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62です。

公式2(ab + ac + bc)と6つの面の和が同じ答えになるのは分配法則のおかげで、かけ算の性質の解説で説明しています。OpenStaxは同じ公式をS = 2LH + 2LW + 2WHと書き、その例題の14cm × 9cm × 17cmの直方体は1,034cm²になります。

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まちがえやすいところ：見える3つの面しか数えない

見えている3つの面だけを数えるのが、表面積でいちばん多いまちがいです。OpenStaxもはっきり書いています。箱の面のうち「見えるのは3つ」で、「手前に見える面それぞれに対して、反対側にもう1つ面がある。面は全部で6つある。」

2つ目のまちがいは、3つの辺をすべてかけて5 × 3 × 2 = 30とすることで、これは直方体の体積です。体積は体積の求め方で説明しています。表面積では、辺はいつも2つずつかけます。

立体ごとの表面積の公式を比べる

表面積の公式は、どれも同じ展開図の考えから生まれます。面を書き出し、それぞれの面積を求めてたすだけです。例は整数で、円が出るところはπ ≈ 3.14を使います。

立方体の公式6a²は累乗を使っています。a²はa × aのことなので、1辺が4の立方体には面積16の面が6つあります。書き方は累乗の解説で説明しています。

三角柱の表面積の求め方

三角柱の表面積は、2つの三角形の底面と、それをつなぐ3つの長方形の側面の和です。底面が3、4、5の辺をもつ直角三角形で、高さが10の三角柱で求めます。

三角形1つは½ × 3 × 4 = 6なので、2つの底面で12です。3つの長方形は3 × 10 = 30、4 × 10 = 40、5 × 10 = 50で、合わせて120です。合計は12 + 120 = 132です。

3つの長方形はどれも高さ10を共有しているので、底面の周の長さに高さをかけても求められます。(3 + 4 + 5) × 10 = 120。日本の教科書では、この側面全体の面積を側面積と呼び、「表面積 = 底面積 × 2 + 側面積」と考えます。円柱と球は6.G.A.4と7.G.B.6の範囲外ですが、日本では円柱、角錐、円錐、球の表面積も中学1年生で学びます。

家のテーブルでできる表面積の練習

表面積は、お子さんが本物の物を開いてみると、いちばんよく分かります。次の4つの練習に必要なのは、資源ごみ、えんぴつ、定規だけです。

シリアルの箱を開く。 のりづけされたふたを開いて箱を平らにすると、それが展開図です。縦、横、高さを1cm単位で測り、それぞれの面に面積を書いてたします。次に2(ab + ac + bc)と比べます。のりしろで重なる部分は余分な段ボールで、表面積にはふくみません。

プレゼントを包む。 縦30cm、横20cm、高さ10cmの箱の面は600cm²、300cm²、200cm²なので、表面積は2(600 + 300 + 200) = 2,200cm²です。重なりの分だけ少し大きめに紙を切り、なぜちょうどの答えより大きな紙が必要なのか、お子さんに聞いてみましょう。

缶のラベルをはがす。 OpenStaxが紹介している方法です。「缶の側面のラベルをていねいに切り取って広げると、長方形であることが分かる。」ラベルの横の長さは缶の円周2πr、縦の長さは缶の高さです。2πrとπr²は円周の長さと円の面積で説明しています。

r = 3、h = 10の円柱の例では、最後の手順までπのまま計算します。

• 2つの円： 2 × π × 3² = 2 × π × 9 = 18π。
• 長方形： 2 × π × 3 × 10 = 60π。
• 合計： 18π + 60π = 78π。π ≈ 3.14とすると、78 × 3.14 = 244.92です。

部屋のペンキの量を考える。 縦4m、横3.5m、高さ2.5mの部屋には、4 × 2.5 = 10m²の壁が2つと、3.5 × 2.5 = 8.75m²の壁が2つあるので、壁の合計は2 × 10 + 2 × 8.75 = 37.5m²です。ドアと窓の分をひき、ペンキの缶に書いてある塗れる面積と比べましょう。

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決まり：まず展開図をかく

公式より先に展開図をかく習慣が、ほとんどのまちがいを防ぎます。展開図にはどの面も1回ずつ出てくるので、足りない面や2回数えた面がすぐに見つかります。お子さんが直方体、角柱、角錐の展開図を一人でかけるようになれば、公式は、もう見えているものを早く計算する近道になります。

表面積の上達を確かめる方法

表面積の上達は、5つの短い問題で分かります。1週間、1日1問ずつ出し、まだ時間がかかる問題を見ましょう。

• 直方体： 縦4、横3、高さ2の直方体の表面積を求める。答えは2(12 + 8 + 6) = 52です。
• 立方体： 1辺5の立方体の表面積を求める。答えは6 × 25 = 150です。
• 展開図： 三角柱の展開図をかく。三角形2つと長方形3つが必要です。
• 単位： 52と、同じ直方体の体積24の単位を言う。1つ目は面積の単位（cm²）、2つ目は体積の単位（cm³）です。
• 本物の物： ティッシュの箱を測り、表面積を1cm²単位で求める。

5分間のテスト

5分間の表面積のテストは、直方体1つ、立方体1つ、角柱1つで、それぞれ展開図もかきます。展開図と計算を別々に採点しましょう。

展開図が正しいのに合計がちがうなら、つまずいているのはかけ算の九九です。表面積のプリント1枚で、7 × 8や6 × 9を何十回も計算します。小学6年生向けの算数ゲームや九九ゲームで、計算をすばやく保てます。展開図がまちがっているなら、上の開く練習にもどりましょう。

表面積のよくあるまちがいと特別な場合

表面積のまちがいの多くは5つにまとめられ、どれも短い直し方があります。

• 6つではなく3つの面： 答えが半分になります。3つのちがう面の和を2倍するか、6つすべてを書き出します。
• 3つの辺をすべてかける： 5 × 3 × 2 = 30は体積です。辺は2つずつかけます。
• 体積の単位： 表面積にcm³と書く。面積にはいつもcm²のような面積の単位を使います。
• 単位がばらばら： 0.6m × 15cm × 15cmの箱は、先に60cm × 15cm × 15cmにそろえます。2(900 + 900 + 225) = 4,050cm²です。
• 直径と半径の取りちがえ： 直径6の缶はr = 3です。2πr² + 2πrhを使う前に、直径を半分にします。

特別な場合：すべての辺を2倍にすると表面積は4倍

立体のすべての辺を2倍にすると、表面積は4倍になります。縦5、横3、高さ2の直方体の表面積は62で、縦10、横6、高さ4の直方体は2(60 + 40 + 24) = 248、つまり4 × 62です。どの面も長さ × 長さで、その2つの長さがどちらも2倍になるので、面の面積は2 × 2 = 4倍になります。

体積はさらに速く大きくなります。小さい直方体の体積は30、大きい直方体は240で、8倍です。体積は2倍になった3つの長さをかけるので、2 × 2 × 2 = 8倍になるからです。この拡大の例は体積の求め方にもっとあります。

表面積のチェックリストと次のステップ

• まず展開図： 計算する前に平らな形をかき、面の数を数える。
• 2つずつ： どの面も2つの辺を使い、3つすべてはかけない。
• 組にする： 直方体なら3つの面の面積を求め、たして2倍する。
• 円： 直径は半分にし、最後までπのまま計算し、どのπの値を使ったかを書く。
• 単位： 先に単位をそろえ、答えは面積の単位で書く。
• 確かめ： 展開図の面を1つずつたし、公式の答えと比べる。

MathIt は iOS と Android の無料アプリで、約90種類のゲームがあり、難しさがお子さんに合わせて変わります。毎日の短い練習で、どの面の面積にも使うかけ算をすばやくできるようにします。友だち1〜4人とリアルタイムの算数対戦もできます。