Zo bereken je de oppervlakte van een doos, een prisma of een cilinder

Je kind heeft een cornflakesdoos op tafel en een werkblad dat naar de oppervlakte vraagt, en volgens de antwoorden is het 62 terwijl je kind 30 heeft. Die verwarring tussen de buitenkant van een doos en de ruimte erin is de meest gemaakte fout in de meetkunde van groep 8. De oppervlakte berekenen vraagt één idee: vouw de figuur open tot platte stukken, bereken de oppervlakte van elk stuk en tel ze op.

Wat is de oppervlakte van een ruimtelijke figuur?

De oppervlakte van een ruimtelijke figuur is de totale oppervlakte van al zijn zijvlakken. OpenStax Prealgebra 2e, paragraaf 9.6 beschrijft het met een geverfde kist: "De hoeveelheid verf die nodig is om de buitenkant van elke doos te bedekken, is de oppervlakte, een vierkante maat voor de totale oppervlakte van alle zijkanten." Inpakpapier, verf en het karton van een doos zijn allemaal vragen over oppervlakte.

Het hulpmiddel dat oppervlakte zichtbaar maakt, is de uitslag, het platte patroon dat je krijgt als je een doos langs de ribben openknipt en neerlegt. In Nederland noemt kerndoel 32 van SLO voor groep 7 en 8 het "tekenen van uitslagen voor een bouwsel (mandje, doos, piramide, kegel, driezijdig prisma, dobbelsteen) en vervolgens construeren". In de VS vraagt Common Core-standaard 6.G.A.4 in grade 6, ongeveer groep 8, om "ruimtelijke figuren weer te geven met uitslagen van rechthoeken en driehoeken, en met die uitslagen de oppervlakte van deze figuren te vinden". In grade 7, ongeveer de brugklas, breidt standaard 7.G.B.6 dat uit tot "oppervlakte, inhoud en buitenoppervlak van twee- en driedimensionale objecten opgebouwd uit driehoeken, vierhoeken, veelhoeken, kubussen en rechte prisma's".

De oppervlakte van een balk bouwt voort op de oppervlakte van een rechthoek, lengte × breedte. Voelt dat wankel, dan behandelt de gids over oppervlakte en omtrek dat eerst.

Waarom oppervlakte vierkante eenheden gebruikt, geen kubieke

De oppervlakte meet je in vierkante eenheden, omdat elk zijvlak een plat vlak is, de ene lengte keer de andere. Een zijvlak van 5 cm bij 3 cm bedekt 15 vierkante centimeter, geschreven als 15 cm². De inhoud vermenigvuldigt drie lengtes, dus die komt uit in kubieke eenheden zoals cm³.

De pagina van NIST over SI-eenheden laat hetzelfde patroon zien voor het metrieke stelsel: oppervlakte is m² en inhoud is m³. Het kleine tweetje en drietje tellen hoeveel lengtes je hebt vermenigvuldigd. Schrijft je kind "62 cm³" bij een oppervlakte, dan verraadt de eenheid zelf de verwarring.

Zo bereken je de oppervlakte van een balk, stap voor stap

De oppervlakte van een balk is de som van zijn 6 rechthoekige zijvlakken, die in 3 gelijke paren komen. Neem een doos van 5 cm lang, 3 cm breed en 2 cm hoog.

1. Benoem de drie ribben. Schrijf l = 5, b = 3 en h = 2. Elk zijvlak van de balk gebruikt twee van die drie getallen.
2. Teken de uitslag. Schets de zes rechthoeken opengevouwen, zoals in de tekening van de doos, en schrijf op elk vlak de maten: twee keer 5 × 3, twee keer 5 × 2 en twee keer 3 × 2.
3. Bereken de oppervlakte van één vlak uit elk paar. Bovenkant: 5 × 3 = 15. Voorkant: 5 × 2 = 10. Zijkant: 3 × 2 = 6.
4. Tel de drie oppervlaktes op. 15 + 10 + 6 = 31. Dat is de helft van de doos, één vlak uit elk paar.
5. Verdubbel de som. 2 × 31 = 62. De formule 2(lb + lh + bh) doet stap 3 tot en met 5 in één regel: 2(15 + 10 + 6) = 62.
6. Schrijf de eenheid en controleer. Het antwoord is 62 cm². Tel ter controle alle zes vlakken één voor één op: 15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62.

De formule 2(lb + lh + bh) en de som van de zes vlakken geven hetzelfde antwoord dankzij de verdeeleigenschap, die de gids over de eigenschappen van vermenigvuldigen uitlegt. OpenStax schrijft het als S = 2LH + 2LW + 2WH, en hun eigen uitgewerkte voorbeeld, een balk van 14 × 9 × 17 cm, komt uit op 1.034 vierkante centimeter.

Gratis spelen in je browserTafelsGroep 5+

Waar het misgaat: maar drie vlakken tellen

Alleen de drie vlakken tellen die je kunt zien, is de meest gemaakte fout bij oppervlakte. OpenStax wijst daar direct op: van de vlakken van een doos "kun je er drie zien", en "voor elk vlak van de balk dat naar je toe staat, is er een ander vlak aan de overkant. Er zijn in totaal 6 vlakken."

De tweede fout is de drie ribben met elkaar vermenigvuldigen, 5 × 3 × 2 = 30, en dat is de inhoud van de doos. De inhoud heeft een eigen gids, inhoud berekenen; voor de oppervlakte vermenigvuldig je de ribben altijd twee aan twee.

Formules voor de oppervlakte per figuur, naast elkaar

Alle formules voor de oppervlakte komen uit hetzelfde idee van de uitslag: noem de vlakken, bereken elke oppervlakte en tel op. De voorbeelden gebruiken hele getallen in cm, en π ≈ 3,14 waar een cirkel voorkomt.

De formule van de kubus, 6z², gebruikt een exponent: z² betekent z × z, dus een kubus met ribben van 4 cm heeft 6 vlakken van elk 16 cm². De gids over machten behandelt die schrijfwijze.

Zo bereken je de oppervlakte van een driezijdig prisma

De oppervlakte van een driezijdig prisma is de twee driehoekige uiteinden plus de drie rechthoeken die ze verbinden. Neem een prisma met als uiteinden rechthoekige driehoeken met zijden 3, 4 en 5 cm, en een lengte van 10 cm.

Elke driehoek is ½ × 3 × 4 = 6 cm², dus de twee uiteinden samen zijn 12 cm². De drie rechthoeken zijn 3 × 10 = 30, 4 × 10 = 40 en 5 × 10 = 50, samen 120 cm². Het totaal is 12 + 120 = 132 cm².

De drie rechthoeken delen de lengte 10, dus je kunt ook de omtrek van de driehoek met de lengte vermenigvuldigen: (3 + 4 + 5) × 10 = 120. Cilinders en bollen vallen buiten 6.G.A.4 en 7.G.B.6, maar OpenStax behandelt de cilinder in dezelfde paragraaf als dozen, en veel methodes voor de onderbouw doen dat ook.

Activiteiten aan de keukentafel voor oppervlakte

Oppervlakte wordt het duidelijkst als je kind een echt voorwerp openvouwt. Vier activiteiten vragen niets meer dan de papierbak, een potlood en een liniaal.

Vouw een cornflakesdoos open. Maak de geplakte flappen los, leg de doos plat en je hebt de uitslag. Meet de lengte, breedte en hoogte tot op de hele centimeter, schrijf op elk vlak de oppervlakte en tel op. Vergelijk dan met 2(lb + lh + bh); de flappen die bij de lijmnaad overlappen, zijn extra karton en horen niet bij de oppervlakte.

Pak een cadeau in. Een doos van 30 × 20 × 10 cm heeft vlakken van 600, 300 en 200 cm², dus de oppervlakte is 2(600 + 300 + 200) = 2.200 cm². Knip een stuk papier dat iets groter is voor de overlap, en vraag je kind waarom het papier groter moet zijn dan het precieze antwoord.

Pel het etiket van een blik. OpenStax beschrijft deze: "Als je het etiket voorzichtig van de zijkant van het blik knipt en uitrolt, zie je dat het een rechthoek is." De breedte van het etiket is de omtrek van het blik, 2πr, en de hoogte is de hoogte van het blik. De gids over omtrek en oppervlakte van een cirkel behandelt 2πr en πr².

De uitgewerkte cilinder gebruikt r = 3 cm en h = 10 cm en houdt π vast tot de laatste stap:

• Twee cirkels: 2 × π × 3² = 2 × π × 9 = 18π.
• De rechthoek: 2 × π × 3 × 10 = 60π.
• Totaal: 18π + 60π = 78π. Met π ≈ 3,14 is 78 × 3,14 = 244,92 cm².

Reken de verf voor een kamer uit. Een slaapkamer van 4 m lang, 3,5 m breed en 2,5 m hoog heeft twee muren van 4 × 2,5 = 10 m² en twee van 3,5 × 2,5 = 8,75 m², dus de muren zijn samen 2 × 10 + 2 × 8,75 = 37,5 m². Trek de deur en het raam eraf en vergelijk met het aantal m² per liter dat op het blik verf staat.

Gratis werkblad om te printenVermenigvuldigen — groep 8Werkblad · PDF

De regel: teken eerst de uitslag

De uitslag tekenen voor je een formule gebruikt, is de gewoonte die de meeste fouten voorkomt. Een uitslag laat elk vlak één keer zien, dus een ontbrekend of dubbel vlak valt meteen op. Kan je kind zonder hulp de uitslag van een doos, een prisma en een piramide tekenen, dan worden de formules snelkoppelingen naar iets wat het al ziet.

Zo controleer je de vooruitgang met oppervlakte

Vooruitgang met oppervlakte zie je aan vijf korte opdrachten. Geef een week lang één opdracht per dag en kijk welke nog langzaam gaat.

• Doos: bereken de oppervlakte van een balk van 4 × 3 × 2 cm. Het antwoord is 2(12 + 8 + 6) = 52 cm².
• Kubus: bereken de oppervlakte van een kubus met ribben van 5 cm. Het antwoord is 6 × 25 = 150 cm².
• Uitslag: teken de uitslag van een driezijdig prisma. Die moet 2 driehoeken en 3 rechthoeken laten zien.
• Eenheden: noem de eenheid bij 52 en bij de inhoud van dezelfde balk, 24. Vierkante centimeters bij de eerste, kubieke centimeters bij de tweede.
• Echt voorwerp: meet een tissuedoos en bereken de oppervlakte tot op de hele vierkante centimeter.

Een toets van vijf minuten

Een toets van vijf minuten over oppervlakte bestaat uit één balk, één kubus en één prisma, met voor elk de uitslag getekend. Beoordeel de uitslag en het rekenwerk apart.

Een goede uitslag met een fout totaal wijst naar de tafels: een leerling in groep 8 rekent op één werkblad tientallen keren 7 × 8 en 6 × 9 uit. Het rekenspel voor groep 8 en het spel tafels houden die feiten vlot. Een foute uitslag wijst terug naar de activiteiten met openvouwen hierboven.

Veelgemaakte fouten en randgevallen bij oppervlakte

Vijf fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden bij oppervlakte, en elke fout heeft een korte oplossing.

• Drie vlakken in plaats van zes: het antwoord wordt half zo groot. Verdubbel de som van de drie verschillende vlakken, of noem alle zes.
• Alle drie de ribben vermenigvuldigen: 5 × 3 × 2 = 30 is de inhoud. Vermenigvuldig de ribben twee aan twee.
• Kubieke eenheden: cm³ schrijven bij een oppervlakte. Oppervlaktes krijgen altijd vierkante eenheden.
• Gemengde eenheden: een doos van 0,5 m × 15 cm × 15 cm moet je eerst omrekenen, naar 50 × 15 × 15 cm, en dat geeft 2(750 + 750 + 225) = 3.450 cm².
• Diameter in plaats van straal: een blik van 6 cm breed heeft r = 3 cm. Halveer de diameter voordat je 2πr² + 2πrh gebruikt.

Randgeval: elke ribbe verdubbelen maakt de oppervlakte 4 keer zo groot

Elke ribbe van een figuur verdubbelen maakt de oppervlakte 4 keer zo groot. Een balk van 5 × 3 × 2 cm heeft een oppervlakte van 62 cm², en een balk van 10 × 6 × 4 cm heeft 2(60 + 40 + 24) = 248 cm², en dat is 4 × 62. Elk vlak is een lengte keer een lengte, en beide lengtes zijn verdubbeld, dus elk vlak is 2 × 2 = 4 keer zo groot.

De inhoud groeit nog sneller. De kleine balk heeft een inhoud van 30 cm³ en de grote 240 cm³, 8 keer zoveel, omdat de inhoud drie verdubbelde lengtes vermenigvuldigt: 2 × 2 × 2 = 8. De gids over inhoud heeft meer voorbeelden van dat vergroten.

Je checklist voor oppervlakte en de volgende stappen

• Eerst de uitslag: schets het platte patroon en tel de vlakken voordat je rekent.
• Twee aan twee: elk vlak gebruikt twee ribben, nooit alle drie.
• Paren: bereken bij een balk 3 vlakken, tel ze op en verdubbel de som.
• Cirkels: halveer een diameter, houd π vast tot de laatste stap en zeg welke waarde van π je gebruikt.
• Eenheden: reken eerst om naar één eenheid en schrijf het antwoord in vierkante eenheden.
• Controle: tel elk vlak van de uitslag één voor één op en vergelijk met de formule.

MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en korte dagelijkse oefening die de vermenigvuldigingen achter elke oppervlakte vlot houdt. Je kind kan ook 1 tot 4 vrienden uitdagen in rekenduels in realtime.