Slik regner du ut overflaten av en eske, et prisme eller en sylinder

Barnet ditt har en frokostblandingseske på bordet og en oppgave som spør etter overflaten, og fasiten sier 62 cm² mens barnet har skrevet 30. Den sammenblandingen av utsiden av en eske og plassen inni den er den vanligste i geometrien på ungdomsskolen. Å regne ut overflate krever én idé: brett figuren ut til flate deler, finn arealet av hver del og legg dem sammen.

Hva er overflate?

Overflate er det samlede arealet av alle flatene på en tredimensjonal figur. OpenStax Prealgebra 2e, avsnitt 9.6 forklarer det med en kasse som skal males: «Mengden maling som trengs for å dekke utsiden av hver kasse, er overflaten, et kvadratmål for det samlede arealet av alle sidene.» Gavepapir, maling og pappen i en eske er alle spørsmål om overflate.

Verktøyet som gjør overflaten synlig, er utbrettingen, det flate mønsteret du får når du klipper en eske langs kantene og legger den ut. I Norge skal eleven etter 9. trinn kunne «bruke og argumentere for formler for overflateareal og volum av tredimensjonale figurer», ifølge kompetansemålene etter 9. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden 6.G.A.4 elever i sjette klasse om å vise tredimensjonale figurer som utbrettinger av rektangler og trekanter og bruke utbrettingene til å finne overflaten. I sjuende klasse utvider standarden 7.G.B.6 jobben til areal, volum og overflate av figurer satt sammen av trekanter, firkanter, mangekanter, kuber og rette prismer.

Overflate bygger på arealet av et rektangel, lengde × bredde. Føles det ustøtt, går guiden om areal og omkrets gjennom det først.

Hvorfor overflate bruker kvadratenheter og ikke kubikkenheter

Overflate måles i kvadratenheter fordi hver flate er et flatt areal, én lengde ganger en annen. En flate på 5 cm × 3 cm dekker 15 kvadratcentimeter, skrevet 15 cm². Volum ganger tre lengder, så svaret kommer i kubikkenheter som cm³.

NIST-siden om SI-enheter viser det samme mønsteret i metersystemet: areal er m² og volum er m³. Det lille 2-tallet og 3-tallet teller hvor mange lengder som er ganget sammen. Når barnet skriver «62 cm³» for en overflate, viser selve enheten sammenblandingen.

Slik regner du ut overflaten av et rett prisme, steg for steg

Overflaten av et rett prisme formet som en eske er summen av de 6 rektangulære flatene, som kommer i 3 like par. Ta en eske som er 5 cm lang, 3 cm bred og 2 cm høy.

1. Gi de tre kantene navn. Skriv l = 5, b = 3 og h = 2. Hver flate på esken bruker to av de tre tallene.
2. Tegn utbrettingen. Skisser de seks rektanglene brettet ut, som i tegningen av esken, og skriv målene på hvert av dem: to 5 × 3, to 5 × 2 og to 3 × 2.
3. Finn arealet av én flate fra hvert par. Toppen: 5 × 3 = 15. Forsiden: 5 × 2 = 10. Siden: 3 × 2 = 6.
4. Legg sammen de tre arealene. 15 + 10 + 6 = 31. Det dekker halve esken, én flate fra hvert par.
5. Doble summen. 2 × 31 = 62. Formelen 2(lb + lh + bh) gjør steg 3 til 5 på én linje: 2(15 + 10 + 6) = 62.
6. Skriv enheten og kontroller. Svaret er 62 cm². Legg sammen alle de seks flatene én etter én som kontroll: 15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62.

Formelen 2(lb + lh + bh) og summen av de seks flatene gir samme svar på grunn av den distributive egenskapen, som guiden om regneregler for multiplikasjon forklarer. OpenStax skriver formelen som S = 2LH + 2LW + 2WH, og deres eget eksempel, en kasse på 14 cm × 9 cm × 17 cm, gir 1034 kvadratcentimeter.

Spill gratis i nettleserenGangetabeller3. trinn+

Det mange tar feil av: å telle bare tre flater

Å telle bare de tre flatene du ser, er den vanligste feilen med overflate. OpenStax peker på dette direkte: av flatene på en eske «kan du se tre», og «for hver flate som vender mot deg, finnes det en annen flate på motsatt side. Det er 6 flater i alt.»

Den andre feilen er å gange de tre kantene, 5 × 3 × 2 = 30, som er volumet av esken. Volum har sin egen guide, hvordan du regner ut volum; for overflate ganges kantene alltid to og to.

Formler for overflate for hver figur, side om side

Alle formlene for overflate kommer fra den samme ideen med utbretting: list opp flatene, finn hvert areal og legg sammen. Eksemplene bruker hele tall i centimeter, og π ≈ 3,14 der det er en sirkel.

Kubeformelen 6s² bruker en potens: s² betyr s × s, så en kube med kanter på 4 cm har 6 flater på 16 cm² hver. Guiden om potenser forklarer skrivemåten.

Slik regner du ut overflaten av et trekantet prisme

Overflaten av et trekantet prisme er de to trekantene i endene pluss de tre rektanglene som binder dem sammen. Ta et prisme der endene er rettvinklede trekanter med sidene 3 cm, 4 cm og 5 cm, og der lengden er 10 cm.

Hver trekant er ½ × 3 × 4 = 6 cm², så de to endene gir 12 cm². De tre rektanglene er 3 × 10 = 30, 4 × 10 = 40 og 5 × 10 = 50, som gir 120 cm². Overflaten er 12 + 120 = 132 cm².

De tre rektanglene har lengden 10 felles, så du kan også gange omkretsen av trekanten med lengden: (3 + 4 + 5) × 10 = 120. Sylindere og kuler ligger utenfor 6.G.A.4 og 7.G.B.6, men OpenStax tar med sylinderen i samme avsnitt som eskene, og mange lærebøker gjør det samme.

Aktiviteter med overflate ved kjøkkenbordet

Overflate gir mest mening når barnet bretter ut en ekte ting. Fire aktiviteter trenger ikke mer enn papiravfallet, en blyant og en linjal.

Brett ut en frokostblandingseske. Åpne de limte klaffene, legg esken flatt, og du har utbrettingen. Mål lengden, bredden og høyden til nærmeste centimeter, skriv arealet på hvert felt og legg sammen. Sammenlign så med 2(lb + lh + bh); klaffene som overlapper ved limkanten, er ekstra papp og hører ikke med i overflaten.

Pakk inn en gave. En eske på 30 cm × 20 cm × 10 cm har flater på 600, 300 og 200 cm², så overflaten er 2(600 + 300 + 200) = 2200 cm². Klipp et papir som er litt større enn det for å få overlapp, og spør barnet hvorfor papiret må være større enn det nøyaktige svaret.

Ta av etiketten på en boks. OpenStax beskriver denne: «Hvis du forsiktig klipper etiketten av siden på boksen og ruller den ut, ser du at den er et rektangel.» Bredden på etiketten er omkretsen av boksen, 2πr, og høyden er høyden på boksen. Guiden om omkrets og areal av en sirkel forklarer 2πr og πr².

Sylinderen i eksempelet har r = 3 cm og h = 10 cm og beholder π til siste steg:

• To sirkler: 2 × π × 3² = 2 × π × 9 = 18π.
• Rektangelet: 2 × π × 3 × 10 = 60π.
• Til sammen: 18π + 60π = 78π. Med π ≈ 3,14 blir det 78 × 3,14 = 244,92 cm².

Regn ut malingen til et rom. Et soverom som er 4 m langt, 3,5 m bredt og 2,5 m høyt, har to vegger på 4 × 2,5 = 10 m² og to på 3,5 × 2,5 = 8,75 m², så veggene blir til sammen 2 × 10 + 2 × 8,75 = 37,5 m². Trekk fra døren og vinduet, og sammenlign med hvor mange kvadratmeter malingsspannet sier at det dekker.

Gratis utskriftsarkMultiplikasjon — 6.-klassingerArbeidsark · PDF

Regelen: tegn utbrettingen først

Å tegne utbrettingen før du bruker en formel, er vanen som hindrer de fleste feilene. En utbretting viser hver flate én gang, så en flate som mangler eller er tatt med to ganger, er lett å se. Når barnet kan tegne utbrettingen av en eske, et prisme og en pyramide uten hjelp, blir formlene snarveier til noe barnet allerede ser.

Slik sjekker du fremgangen med overflate

Fremgangen med overflate synes i fem raske oppgaver. Gi én oppgave om dagen i en uke, og se hvilken som fortsatt går tregt.

• Eske: finn overflaten av en eske på 4 cm × 3 cm × 2 cm. Svaret er 2(12 + 8 + 6) = 52 cm².
• Kube: finn overflaten av en kube med kanter på 5 cm. Svaret er 6 × 25 = 150 cm².
• Utbretting: tegn utbrettingen av et trekantet prisme. Den må vise 2 trekanter og 3 rektangler.
• Enheter: si enheten for 52 og for volumet av den samme esken, 24. Kvadratcentimeter for det første, kubikkcentimeter for det andre.
• Ekte ting: mål en eske med papirlommetørkler og finn overflaten til nærmeste kvadratcentimeter.

En test på fem minutter

En test på fem minutter i overflate er én eske, én kube og ett prisme, med utbrettingen tegnet for hver av dem. Gi poeng for utbrettingen og for regningen hver for seg.

En riktig utbretting med feil sum peker mot gangetabellen: en elev regner 7 × 8 og 6 × 9 mange ganger på ett eneste arbeidsark. Mattespillet for 6. trinn og gangetabellspillet holder de faktaene raske. En feil utbretting peker tilbake til aktivitetene med å brette ut.

Vanlige feil og spesialtilfeller med overflate

Fem feil står bak de fleste gale svarene om overflate, og hver har en kort løsning.

• Tre flater i stedet for seks: svaret blir halvparten så stort. Doble summen av de tre ulike flatene, eller list opp alle seks.
• Å gange alle tre kantene: 5 × 3 × 2 = 30 er volumet. Gang kantene to og to.
• Kubikkenheter: å skrive cm³ for en overflate. Areal har alltid kvadratenheter.
• Blandede enheter: en eske på 0,5 m × 20 cm × 20 cm må gjøres om først, til 50 cm × 20 cm × 20 cm, som gir 2(1000 + 1000 + 400) = 4800 cm².
• Diameter i stedet for radius: en boks som er 6 cm i diameter, har r = 3 cm. Halver diameteren før du bruker 2πr² + 2πrh.

Spesialtilfelle: når alle kantene dobles, blir overflaten 4 ganger så stor

Når du dobler alle kantene på en figur, blir overflaten 4 ganger så stor. En eske på 5 cm × 3 cm × 2 cm har en overflate på 62 cm², og en eske på 10 cm × 6 cm × 4 cm har 2(60 + 40 + 24) = 248 cm², som er 4 × 62. Hver flate er en lengde ganger en lengde, og begge lengdene er doblet, så hvert areal blir 2 × 2 = 4 ganger større.

Volumet vokser enda raskere. Den lille esken rommer 30 cm³ og den store 240 cm³, som er 8 ganger så mye, fordi volumet ganger tre doblede lengder: 2 × 2 × 2 = 8. Guiden om volum har flere eksempler på denne skaleringen.

Sjekkliste for overflate, og neste steg

• Utbretting først: skisser det flate mønsteret og tell flatene før du regner.
• To og to: hver flate bruker to kanter, aldri alle tre.
• Par: for en eske finner du 3 flateareal, legger dem sammen og dobler summen.
• Sirkler: halver en diameter, behold π til siste steg og si hvilken verdi for π du brukte.
• Enheter: gjør om til én enhet først, og skriv svaret i kvadratenheter.
• Kontroll: legg sammen alle flatene i utbrettingen én etter én, og sammenlign med formelen.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, tilpasset vanskelighetsgrad og korte daglige økter som holder multiplikasjonen bak hvert flateareal rask. Barnet kan også utfordre 1 til 4 venner i matteduell i sanntid.