Så räknar du ut begränsningsarean för ett rätblock, ett prisma eller en cylinder

Ditt barn har ett flingpaket på bordet och ett arbetsblad som frågar efter paketets begränsningsarea, och facit säger 62 medan barnets svar säger 30. Den sammanblandningen mellan en kartongs utsida och utrymmet inuti den är den vanligaste i geometrin på högstadiet. Att räkna ut begränsningsarea kräver en enda idé: vik ut kroppen till platta bitar, räkna ut arean av varje bit och lägg ihop dem.

Vad är begränsningsarea?

Begränsningsarea är den sammanlagda arean av alla sidoytor på en tredimensionell kropp. OpenStax Prealgebra 2e, avsnitt 9.6 förklarar det med en målad låda: mängden färg som behövs för att täcka utsidan av lådan är begränsningsarean, ett areamått på den sammanlagda arean av alla sidor. Presentpapper, färg och kartongen i en låda är alla frågor om begränsningsarea.

Verktyget som gör begränsningsarean synlig är utvikningen, det platta mönster du får när du klipper upp en kartong längs kanterna och lägger ut den. I Sverige tar kursplanen i matematik i Lgr22 upp kropparna klot, kon, cylinder och rätblock redan i årskurs 1–3 och ”metoder för beräkning av area, omkrets och volym hos geometriska objekt, samt enhetsbyten i samband med detta” i årskurs 7–9. I USA ber Common Core-standarden 6.G.A.4 elever i årskurs 6 att visa tredimensionella kroppar med utvikningar av rektanglar och trianglar och använda utvikningarna för att räkna ut begränsningsarean, och i årskurs 7 vidgar standarden 7.G.B.6 uppgiften till area, volym och begränsningsarea för kroppar av trianglar, fyrhörningar, månghörningar, kuber och raka prismor.

Begränsningsarea bygger på arean av en rektangel, längd × bredd. Om det känns osäkert går guiden om area och omkrets igenom det först.

Därför anges begränsningsarea i areaenheter, inte kubikenheter

Begränsningsarea mäts i areaenheter eftersom varje sidoyta är en plan area, en längd gånger en annan. En sidoyta på 5 cm gånger 3 cm täcker 15 kvadratcentimeter, skrivet 15 cm². Volym multiplicerar tre längder, så den blir kubikenheter som cm³.

NIST:s sida om SI-enheterna visar samma mönster i metersystemet: area är m² och volym är m³. Den lilla 2:an och 3:an räknar hur många längder som multiplicerades. När ditt barn skriver ”62 kubikenheter” för en begränsningsarea visar enheten själv sammanblandningen.

Så räknar du ut begränsningsarean för ett rätblock, steg för steg

Begränsningsarean för ett rätblock är summan av dess 6 rektangulära sidoytor, som kommer i 3 likadana par. Ta ett rätblock som är 5 enheter långt, 3 enheter brett och 2 enheter högt.

1. Namnge de tre kanterna. Skriv l = 5, b = 3 och h = 2. Varje sidoyta på rätblocket använder två av de tre talen.
2. Rita utvikningen. Skissa de sex rektanglarna utvikta, som i bilden av rätblocket, och skriv måtten på var och en: två 5 × 3, två 5 × 2 och två 3 × 2.
3. Räkna ut arean av en sidoyta från varje par. Ovansidan: 5 × 3 = 15. Framsidan: 5 × 2 = 10. Kortsidan: 3 × 2 = 6.
4. Addera de tre areorna. 15 + 10 + 6 = 31. Det täcker halva rätblocket, en sidoyta från varje par.
5. Dubbla summan. 2 × 31 = 62. Formeln 2(lb + lh + bh) gör steg 3 till 5 på en rad: 2(15 + 10 + 6) = 62.
6. Skriv enheten och kontrollera. Svaret är 62 areaenheter. Addera alla sex sidoytorna en i taget som kontroll: 15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62.

Formeln 2(lb + lh + bh) och summan av de sex ytorna ger samma svar tack vare den distributiva lagen, som guiden om multiplikationens räknelagar förklarar. OpenStax skriver den som S = 2LH + 2LW + 2WH, och dess eget räknade exempel, ett rätblock på 14 × 9 × 17 cm, blir 1 034 kvadratcentimeter.

Spela gratis i webbläsarenMultiplikationstabellerÅk 3+

Det som många gör fel: att räkna bara tre sidoytor

Att räkna bara de tre sidoytor du ser är det vanligaste felet med begränsningsarea. OpenStax påpekar det direkt: av en lådas sidor kan du se tre, och för varje sida som är vänd mot dig finns en annan sida på motsatt håll, så det finns 6 sidor totalt.

Det andra felet är att multiplicera de tre kanterna, 5 × 3 × 2 = 30, vilket är rätblockets volym. Volym har en egen guide, så räknar du ut volym; för begränsningsarea multipliceras kanterna alltid två i taget.

Formler för begränsningsarea för varje kropp, sida vid sida

Formlerna för begränsningsarea kommer alla från samma idé med utvikningen: lista sidoytorna, räkna ut varje area och addera. Exemplen använder heltal, och π ≈ 3,14 där en cirkel finns med.

Kubens formel 6s² använder en potens: s² betyder s × s, så en kub med kanten 4 enheter har 6 sidoytor på 16 areaenheter var. Guiden om potenser går igenom skrivsättet.

Så räknar du ut begränsningsarean för ett tresidigt prisma

Begränsningsarean för ett tresidigt prisma är de två trianglarna i ändarna plus de tre rektanglarna som förbinder dem. Ta ett prisma vars ändar är rätvinkliga trianglar med sidorna 3, 4 och 5 och vars längd är 10.

Varje triangel är ½ × 3 × 4 = 6, så de två ändarna blir 12. De tre rektanglarna är 3 × 10 = 30, 4 × 10 = 40 och 5 × 10 = 50, vilket blir 120. Summan är 12 + 120 = 132 areaenheter.

De tre rektanglarna har samma längd, 10, så du kan också multiplicera triangelns omkrets med längden: (3 + 4 + 5) × 10 = 120. Cylindrar och klot ligger utanför 6.G.A.4 och 7.G.B.6 i USA, men OpenStax tar upp cylindern i samma avsnitt som lådorna, och Lgr22 räknar cylindern till kropparna redan i årskurs 1–3.

Aktiviteter vid köksbordet för begränsningsarea

Begränsningsarea blir mest begriplig när ditt barn viker ut ett riktigt föremål. Fyra aktiviteter kräver inget mer än återvinningskärlet, en penna och en linjal.

Vik ut ett flingpaket. Öppna de limmade flikarna, lägg paketet platt, och du har dess utvikning. Mät längd, bredd och höjd till närmaste centimeter, skriv arean på varje del och addera dem. Jämför sedan med 2(lb + lh + bh); flikarna som överlappar vid limkanten är extra kartong och hör inte till begränsningsarean.

Slå in en present. En kartong på 30 × 20 × 10 cm har sidoytor på 600, 300 och 200 cm², så dess begränsningsarea är 2(600 + 300 + 200) = 2 200 cm². Klipp ett papper som är lite större för överlappet, och fråga ditt barn varför papperet måste vara större än det exakta svaret.

Skala av etiketten på en burk. OpenStax beskriver den här: om du försiktigt skär av etiketten från burkens sida och rullar ut den ser du att den är en rektangel. Etikettens bredd är burkens omkrets, 2πr, och dess höjd är burkens höjd. Guiden om omkrets och area för en cirkel går igenom 2πr och πr².

Den räknade cylindern har r = 3 och h = 10 och behåller π till sista steget:

• Två cirklar: 2 × π × 3² = 2 × π × 9 = 18π.
• Rektangeln: 2 × π × 3 × 10 = 60π.
• Summa: 18π + 60π = 78π. Med π ≈ 3,14 blir 78 × 3,14 = 244,92 areaenheter.

Räkna färgen till ett rum. Ett sovrum som är 4 m långt, 3,5 m brett och 2,5 m högt har två väggar på 4 × 2,5 = 10 m² och två på 3,5 × 2,5 = 8,75 m², så väggarna blir sammanlagt 2 × 10 + 2 × 8,75 = 37,5 m². Dra av dörren och fönstret och jämför sedan med hur många kvadratmeter som står på färgburken.

Gratis övningsblad att skriva utMultiplikation — elever i årskurs 6Arbetsblad · PDF

Regeln: rita utvikningen först

Att rita utvikningen före varje formel är vanan som förhindrar de flesta fel. En utvikning visar varje sidoyta en gång, så en sidoyta som saknas eller har kommit med två gånger syns lätt. När ditt barn kan rita utvikningen av ett rätblock, ett prisma och en pyramid utan hjälp blir formlerna genvägar till något det redan ser.

Så kontrollerar du framstegen med begränsningsarea

Framstegen med begränsningsarea syns i fem snabba uppgifter. Ge en uppgift om dagen i en vecka och se vilken som fortfarande går långsamt.

• Rätblock: räkna ut begränsningsarean för ett rätblock på 4 × 3 × 2. Svaret är 2(12 + 8 + 6) = 52 areaenheter.
• Kub: räkna ut begränsningsarean för en kub med kanten 5 enheter. Svaret är 6 × 25 = 150 areaenheter.
• Utvikning: rita utvikningen av ett tresidigt prisma. Den måste visa 2 trianglar och 3 rektanglar.
• Enheter: säg enheten för 52 och för samma rätblocks volym, 24. Areaenheter för det första, kubikenheter för det andra.
• Riktigt föremål: mät en näsdukskartong och räkna ut dess begränsningsarea till närmaste kvadratcentimeter.

Ett test på fem minuter

Ett test på fem minuter i begränsningsarea är ett rätblock, en kub och ett prisma, med utvikningen ritad för varje kropp. Rätta utvikningen och räkningen var för sig.

En rätt utvikning med fel summa pekar på multiplikationstabellen: en elev i årskurs 6 eller 7 räknar 7 × 8 och 6 × 9 dussintals gånger på ett enda arbetsblad. Mattespelet för årskurs 6 och spelet med multiplikationstabellen håller de kunskaperna snabba. En fel utvikning pekar tillbaka till aktiviteterna med att vika ut föremål ovan.

Vanliga fel och specialfall med begränsningsarea

Fem fel ligger bakom de flesta felaktiga svar om begränsningsarea, och vart och ett har en kort lösning.

• Tre sidoytor i stället för sex: svaret blir hälften så stort. Dubbla summan av de tre olika sidoytorna eller lista alla sex.
• Att multiplicera alla tre kanterna: 5 × 3 × 2 = 30 är volymen. Multiplicera kanterna två i taget.
• Kubikenheter: att skriva cm³ för en begränsningsarea. Areor har alltid areaenheter.
• Blandade enheter: ett rätblock på 1 m × 20 cm × 20 cm måste först göras om till 100 × 20 × 20 cm, vilket ger 2(2 000 + 2 000 + 400) = 8 800 cm².
• Diameter i stället för radie: en burk som är 6 enheter bred har r = 3. Halvera diametern innan du använder 2πr² + 2πrh.

Specialfall: dubbla kanter ger fyra gånger så stor begränsningsarea

En fördubbling av varje kant på en kropp multiplicerar begränsningsarean med 4. Ett rätblock på 5 × 3 × 2 har begränsningsarean 62, och ett rätblock på 10 × 6 × 4 har 2(60 + 40 + 24) = 248, vilket är 4 × 62. Varje sidoyta är en längd gånger en längd, och båda längderna har fördubblats, så varje sidoytas area blir 2 × 2 = 4 gånger större.

Volymen växer ännu snabbare. Det lilla rätblocket rymmer 30 kubikenheter och det stora 240, vilket är 8 gånger så mycket, eftersom volymen multiplicerar tre fördubblade längder: 2 × 2 × 2 = 8. Guiden om volym har fler exempel på den skalningen.

Din checklista för begränsningsarea och nästa steg

• Utvikningen först: skissa det platta mönstret och räkna sidoytorna innan du räknar.
• Två i taget: varje sidoyta använder två kanter, aldrig alla tre.
• Par: för ett rätblock räknar du ut 3 sidoytors area, adderar dem och dubblar summan.
• Cirklar: halvera en diameter, behåll π till sista steget och säg vilket värde på π du använde.
• Enheter: gör om till en enhet först och skriv svaret i areaenheter.
• Kontroll: addera varje yta i utvikningen en i taget och jämför med formeln.

MathIt är en kostnadsfri app för iOS och Android med ungefär 90 speltyper, anpassad svårighetsgrad och kort daglig träning som håller multiplikationen bakom varje sidoyta snabb. Ditt barn kan också utmana 1 till 4 vänner i mattedueller i realtid.