Bir kutunun, prizmanın ya da silindirin yüzey alanı nasıl hesaplanır?

Çocuğunuzun önünde masada bir mısır gevreği kutusu ve kutunun yüzey alanını soran bir çalışma kâğıdı var; cevap anahtarı 62 diyor, çocuğunuzun cevabı 30. Bir kutunun dışı ile içindeki boşluk arasındaki bu karışıklık, ortaokul geometrisinin en sık hatasıdır. Yüzey alanının nasıl bulunacağını öğrenmek tek bir fikir ister: cismi düz parçalara açın, her parçanın alanını bulun ve hepsini toplayın.

Yüzey alanı nedir?

Yüzey alanı, üç boyutlu bir cismin bütün yüzlerinin toplam alanıdır. OpenStax Prealgebra 2e, bölüm 9.6 bunu boyanacak bir sandık üzerinden anlatır: her kutunun dışını kaplamak için gereken boya miktarı yüzey alanıdır, yani bütün yüzlerin toplam alanını veren bir kare ölçüdür. Hediye paketi kâğıdı, boya ve bir kutunun kartonu hep yüzey alanı sorularıdır.

Yüzey alanını görünür kılan araç açınımdır: bir kutuyu ayrıtları boyunca kesip düz yaydığınızda elde ettiğiniz şekil. Türkiye'de MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı dikdörtgenler prizmasının yüzey açınımlarını çizmeyi ve yüzey alanını hesaplamayı gerektiren problemleri 5. sınıfta (M.5.2.5.2 ve M.5.2.5.3), dik prizmaların açınımını ve dik dairesel silindirin yüzey alanı bağıntısını 8. sınıfta (M.8.3.4.1 ve M.8.3.4.3) verir. ABD'de Common Core 6.G.A.4 standardı 6. sınıflardan dikdörtgen ve üçgenlerden oluşan açınımlarla cisimleri göstermelerini ve bu açınımlarla yüzey alanını bulmalarını ister; 7. sınıfta 7.G.B.6 standardı işi üçgen, dörtgen ve çokgenlerden, küplerden ve dik prizmalardan oluşan cisimlerin alanına, hacmine ve yüzey alanına genişletir.

Yüzey alanı, dikdörtgenin alanı, yani uzunluk × genişlik üzerine kurulur. Bu konu sizi zorluyorsa alan ve çevre rehberi önce onu anlatır.

Yüzey alanı neden küp değil kare birim kullanır?

Yüzey alanı kare birimlerle ölçülür, çünkü her yüz düz bir alandır, yani bir uzunluk çarpı başka bir uzunluk. 5 cm'ye 3 cm'lik bir yüz 15 santimetrekare kaplar ve 15 cm² diye yazılır. Hacim üç uzunluğu çarpar, bu yüzden cm³ gibi küp birimlerle çıkar.

NIST'in SI birimleri sayfası metrik sistem için aynı düzeni gösterir: alan m², hacim m³'tür. Küçük 2 ve 3, kaç uzunluğun çarpıldığını sayar. Çocuğunuz bir yüzey alanı için “62 birim küp” yazdığında, karışıklığı birimin kendisi gösterir.

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı adım adım nasıl bulunur?

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı, 3 eş çift hâlinde gelen 6 dikdörtgen yüzünün toplamıdır. Uzunluğu 5, genişliği 3 ve yüksekliği 2 birim olan bir kutu alın.

1. Üç ayrıtı adlandırın. a = 5, b = 3 ve c = 2 yazın. Kutunun her yüzü bu üç sayıdan ikisini kullanır.
2. Açınımı çizin. Kutu çizimindeki gibi altı dikdörtgeni açılmış hâlde çizin ve her birinin üzerine ölçüsünü yazın: iki tane 5 × 3, iki tane 5 × 2 ve iki tane 3 × 2.
3. Her çiftten bir yüzün alanını bulun. Üst: 5 × 3 = 15. Ön: 5 × 2 = 10. Yan: 3 × 2 = 6.
4. Üç alanı toplayın. 15 + 10 + 6 = 31. Bu, kutunun yarısıdır, yani her çiftten bir yüz.
5. Toplamı iki katına çıkarın. 2 × 31 = 62. 2(ab + ac + bc) formülü 3 ile 5 arasındaki adımları tek satırda yapar: 2(15 + 10 + 6) = 62.
6. Birimi yazın ve kontrol edin. Cevap 62 birim karedir. Kontrol için altı yüzü tek tek toplayın: 15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62.

2(ab + ac + bc) formülü ile altı yüzün toplamı dağılma özelliği sayesinde aynı cevabı verir; bunu çarpma işleminin özellikleri rehberi açıklar. OpenStax formülü S = 2LH + 2LW + 2WH diye yazar ve kendi çözümlü örneği olan 14 × 9 × 17 cm'lik cisim 1.034 santimetrekare çıkar.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınÇarpım Tablosu3. sınıf+

En çok karıştırılan kısım: yalnızca üç yüzü saymak

Yalnızca görünen üç yüzü saymak en sık yapılan yüzey alanı hatasıdır. OpenStax bunu doğrudan belirtir: bir kutunun yüzlerinden üçünü görebilirsiniz ve size bakan her yüzün karşı tarafında bir yüz daha vardır, toplam 6 yüz eder.

İkinci hata üç ayrıtı çarpmaktır: 5 × 3 × 2 = 30, bu kutunun hacmidir. Hacmin kendi rehberi var, hacim nasıl bulunur; yüzey alanında üç ayrıt her zaman ikişer ikişer çarpılır.

Her cismin yüzey alanı formülleri yan yana

Bütün yüzey alanı formülleri aynı açınım fikrinden gelir: yüzleri listeleyin, her birinin alanını bulun ve toplayın. Örnekler doğal sayılar kullanır, daire olan yerde π ≈ 3,14 alınır.

Küp formülü 6a² bir üs kullanır: a², a × a demektir, yani ayrıtı 4 birim olan bir küpün her biri 16 birim karelik 6 yüzü vardır. Gösterimi üslü sayılar rehberi anlatır.

Üçgen prizmanın yüzey alanı nasıl bulunur?

Üçgen prizmanın yüzey alanı, iki üçgen tabanı ile onları birleştiren üç dikdörtgenin toplamıdır. Tabanları kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgenler ve uzunluğu 10 olan bir prizma alın.

Her üçgen ½ × 3 × 4 = 6'dır, yani iki taban 12 eder. Üç dikdörtgen 3 × 10 = 30, 4 × 10 = 40 ve 5 × 10 = 50'dir ve 120 eder. Toplam 12 + 120 = 132 birim karedir.

Üç dikdörtgen 10 uzunluğunu paylaştığı için üçgenin çevresini uzunlukla da çarpabilirsiniz: (3 + 4 + 5) × 10 = 120. Silindir ABD'de 6.G.A.4 ve 7.G.B.6'nın dışında kalır, ama OpenStax onu kutularla aynı bölümde anlatır ve MEB programı silindirin yüzey alanını 8. sınıfta işler; kürenin yüzey alanı ise ortaokul programında yer almaz.

Evde mutfak masasında yüzey alanı etkinlikleri

Yüzey alanı en iyi, çocuğunuz gerçek bir nesneyi açtığında anlaşılır. Dört etkinlik için geri dönüşüm kutusu, bir kurşun kalem ve bir cetvel yeter.

Bir mısır gevreği kutusunu açın. Yapıştırılmış kapakları açın, kutuyu düz yayın; elinizde açınımı olur. Uzunluğu, genişliği ve yüksekliği en yakın santimetreye kadar ölçün, her panelin üzerine alanını yazın ve toplayın. Sonra 2(ab + ac + bc) ile karşılaştırın; yapıştırma yerinde üst üste binen kapaklar fazladan karton olup yüzey alanına dahil değildir.

Bir hediye paketleyin. 30 × 20 × 10 cm'lik bir kutunun yüzleri 600, 300 ve 200 santimetrekaredir, yani yüzey alanı 2(600 + 300 + 200) = 2.200 santimetrekaredir. Üst üste binme payı için bundan biraz büyük bir kâğıt kesin ve çocuğunuza kâğıdın neden tam cevaptan büyük olması gerektiğini sorun.

Bir konserve etiketini soyun. OpenStax bu etkinliği anlatır: kutunun yanındaki etiketi dikkatle kesip açarsanız bir dikdörtgen olduğunu görürsünüz. Etiketin genişliği kutunun çevresi olan 2πr, yüksekliği de kutunun yüksekliğidir. 2πr ve πr² ifadelerini çemberin çevresi ve dairenin alanı rehberi anlatır.

Çözümlü silindir örneği r = 3 ve h = 10 kullanır ve π'yi son adıma kadar korur:

• İki daire: 2 × π × 3² = 2 × π × 9 = 18π.
• Dikdörtgen: 2 × π × 3 × 10 = 60π.
• Toplam: 18π + 60π = 78π. π ≈ 3,14 ile 78 × 3,14 = 244,92 birim kare.

Bir odanın boyasını hesaplayın. 4 metre uzunluğunda, 3 metre genişliğinde ve 2,5 metre yüksekliğinde bir yatak odasının 4 × 2,5 = 10 metrekarelik iki duvarı ve 3 × 2,5 = 7,5 metrekarelik iki duvarı vardır, yani duvarlar toplam 2 × 10 + 2 × 7,5 = 35 metrekaredir. Kapıyı ve pencereyi çıkarın, sonra sonucu boya kutusunun üzerinde yazan kaplama alanıyla karşılaştırın.

Ücretsiz çalışma kâğıdıÇarpma — 6. Sınıf ÖğrencileriÇalışma Kağıdı · PDF

Kural: önce açınımı çizin

Herhangi bir formülden önce açınımı çizmek, hataların çoğunu önleyen alışkanlıktır. Açınım her yüzü bir kez gösterir, bu yüzden eksik ya da iki kez sayılmış bir yüzü fark etmek kolaydır. Çocuğunuz bir kutunun, bir prizmanın ve bir piramidin açınımını yardımsız çizebildiğinde formüller, zaten görebildiği bir şeyin kısayolu hâline gelir.

Yüzey alanında ilerleme nasıl kontrol edilir?

Yüzey alanındaki ilerleme beş kısa görevde ortaya çıkar. Bir hafta boyunca günde bir görev verin ve hangisinin hâlâ yavaş olduğuna bakın.

• Kutu: 4 × 3 × 2'lik bir kutunun yüzey alanını bulun. Cevap 2(12 + 8 + 6) = 52 birim karedir.
• Küp: ayrıtı 5 birim olan bir küpün yüzey alanını bulun. Cevap 6 × 25 = 150 birim karedir.
• Açınım: bir üçgen prizmanın açınımını çizin. Açınımda 2 üçgen ve 3 dikdörtgen olmalıdır.
• Birimler: 52'nin ve aynı kutunun hacmi olan 24'ün birimini söyleyin. Birincisi için kare birim, ikincisi için küp birim.
• Gerçek nesne: bir mendil kutusunu ölçün ve yüzey alanını en yakın santimetrekareye kadar bulun.

Beş dakikalık bir test

Beş dakikalık bir yüzey alanı testi bir kutu, bir küp ve bir prizmadan oluşur ve her biri için açınım çizilir. Açınımı ve işlemi ayrı ayrı puanlayın.

Doğru bir açınım ama yanlış bir toplam, çarpım tablosuna işaret eder: bir öğrenci tek bir çalışma kâğıdında 7 × 8 ve 6 × 9 işlemlerini onlarca kez yapar. 6. sınıf matematik oyunu ve çarpım tablosu oyunu bu bilgileri hızlı tutar. Yanlış bir açınım ise yukarıdaki açma etkinliklerine geri döndürür.

Yüzey alanında sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış yüzey alanı cevaplarının çoğunu beş hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• Altı yerine üç yüz: cevap yarı büyüklükte çıkar. Üç farklı yüzün toplamını iki katına çıkarın ya da altı yüzün hepsini listeleyin.
• Üç ayrıtı birden çarpmak: 5 × 3 × 2 = 30 hacimdir. Ayrıtları ikişer ikişer çarpın.
• Küp birimler: bir yüzey alanı için cm³ yazmak. Alanlar her zaman kare birim alır.
• Karışık birimler: 0,5 m × 15 cm × 15 cm'lik bir kutu önce 50 × 15 × 15 santimetreye çevrilmelidir; sonuç 2(750 + 750 + 225) = 3.450 santimetrekaredir.
• Yarıçap yerine çap: çapı 6 birim olan bir kutunun yarıçapı r = 3'tür. 2πr² + 2πrh formülünü kullanmadan önce çapı ikiye bölün.

Sınır durum: bütün ayrıtları iki katına çıkarmak yüzey alanını 4 ile çarpar

Bir cismin bütün ayrıtlarını iki katına çıkarmak yüzey alanını 4 ile çarpar. 5 × 3 × 2'lik bir kutunun yüzey alanı 62, 10 × 6 × 4'lük bir kutununki ise 2(60 + 40 + 24) = 248'dir, yani 4 × 62. Her yüz bir uzunluk çarpı bir uzunluktur ve iki uzunluk da iki katına çıktığı için her yüzün alanı 2 × 2 = 4 kat büyür.

Hacim daha da hızlı büyür. Küçük kutu 30 birim küp, büyük kutu 240 birim küp alır, yani 8 kat; çünkü hacim iki katına çıkmış üç uzunluğu çarpar: 2 × 2 × 2 = 8. Hacim rehberinde bu büyümenin başka örnekleri de var.

Yüzey alanı kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Önce açınım: hesaplamadan önce düz şekli çizin ve yüzleri sayın.
• İkişer ikişer: her yüz iki ayrıt kullanır, asla üçünü birden değil.
• Çiftler: bir kutu için 3 yüz alanını bulun, toplayın ve toplamı iki katına çıkarın.
• Daireler: çapı ikiye bölün, π'yi son adıma kadar koruyun ve π için hangi değeri kullandığınızı söyleyin.
• Birimler: önce tek bir birime çevirin ve cevabı kare birimle yazın.
• Kontrol: açınımın her yüzünü tek tek toplayıp formülle karşılaştırın.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve her yüz alanının arkasındaki çarpmayı hızlı tutan kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. Çocuğunuz gerçek zamanlı matematik düellolarında 1 ila 4 arkadaşına da meydan okuyabilir.