怎样求长方体、正方体、棱柱和圆柱的表面积

孩子面前摆着一个麦片盒，练习纸要求算它的表面积，答案是 62，孩子算出来却是 30。把盒子的外面和里面的空间搞混，是五年级学长方体时最常见的错误。学会求表面积只需要一个想法：把图形展开成平面的几块，求出每一块的面积，再加起来。

什么是表面积？

表面积是立体图形所有面的面积总和。OpenStax《Prealgebra 2e》9.6 节用给木箱刷漆来解释：盖住每个箱子外面所需的油漆量就是表面积，是所有面的总面积，用平方单位来度量。包装纸、油漆和做一个盒子用的纸板，问的都是表面积。

让表面积看得见的工具是展开图：把盒子沿棱剪开、摊平得到的平面图形。国内人教版五年级下册在“长方体和正方体”一单元学表面积，六年级下册学圆柱的表面积。教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》包括数学课程标准，自 2022 年秋季学期起执行。美国的共同核心标准 6.G.A.4要求六年级学生用长方形和三角形组成的展开图表示立体图形，并用展开图求它们的表面积；七年级的 7.G.B.6 再扩展到由三角形、四边形、多边形、正方体和直棱柱组成的图形的面积、体积和表面积。

表面积建立在长方形面积“长 × 宽”的基础上。如果这一步还不熟，先看面积和周长讲解。

为什么表面积用面积单位，不用体积单位

表面积用面积单位，因为每个面都是平面，等于一个长度乘另一个长度。长 5 厘米、宽 3 厘米的面是 15 平方厘米，写作 15 cm²。体积是三个长度相乘，所以单位是立方厘米 cm³ 这样的体积单位。

美国国家标准与技术研究院（NIST）的国际单位制页面列出了同样的规律：面积单位是 m²，体积单位是 m³。右上角的 2 和 3 表示乘了几个长度。孩子把表面积写成“62 立方厘米”时，单位本身就暴露了混淆。

怎样一步一步求长方体的表面积

长方体的表面积是 6 个长方形面的面积之和，这 6 个面分成 3 组，每组两个相同。以长 5 厘米、宽 3 厘米、高 2 厘米的盒子为例。

1. 写出三条棱。 长 a = 5，宽 b = 3，高 h = 2。长方体的每个面都用到这三个数中的两个。
2. 画展开图。 像长方体示意图那样画出展开的六个长方形，在每个上面写好尺寸：两个 5 × 3，两个 5 × 2，两个 3 × 2。
3. 每组求一个面的面积。 上面：5 × 3 = 15。前面：5 × 2 = 10。侧面：3 × 2 = 6。
4. 把三个面积相加。 15 + 10 + 6 = 31。这是盒子的一半，每组各一个面。
5. 乘 2。 2 × 31 = 62。公式 2(ab + ah + bh) 把第 3 到第 5 步写成一行：2 × (15 + 10 + 6) = 62。
6. 写单位并检验。 答案是 62 平方厘米。把六个面逐个相加来检验：15 + 15 + 10 + 10 + 6 + 6 = 62。

公式 2(ab + ah + bh) 和六个面逐个相加得到同一个答案，是因为乘法分配律，乘法运算律讲解里有说明。OpenStax 把公式写成 S = 2LH + 2LW + 2WH，书里自己的例题是一个 14 × 9 × 17 厘米的长方体，表面积是 1034 平方厘米。

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最容易错的地方：只算了三个面

只算看得见的三个面，是求表面积最常见的错误。OpenStax 直接指出：长方体的面中“你能看到三个”，而“每个朝着你的面，对面都还有一个面，一共有 6 个面”。

第二种错误是把三条棱相乘，5 × 3 × 2 = 30，这算的是盒子的体积。体积有专门的讲解：体积怎么求。求表面积时，三条棱总是两两相乘。

各种立体图形的表面积公式对照

所有表面积公式都来自同一个展开图的想法：列出所有的面，求出每个面的面积，再相加。例子都用整数，遇到圆时取 π ≈ 3.14，单位都是厘米。

正方体公式 6a² 用到了乘方：a² 表示 a × a，所以棱长 4 厘米的正方体有 6 个面，每个面 16 平方厘米。乘方讲解讲了这种写法。

三棱柱的表面积怎么求

三棱柱的表面积是两个三角形底面加上连接它们的三个长方形。以底面是边长 3、4、5 厘米的直角三角形、长 10 厘米的三棱柱为例。

每个三角形是 ½ × 3 × 4 = 6 平方厘米，两个底面合计 12 平方厘米。三个长方形分别是 3 × 10 = 30、4 × 10 = 40 和 5 × 10 = 50，合计 120 平方厘米。总共是 12 + 120 = 132 平方厘米。

三个长方形的长都是 10，所以也可以用三角形的周长乘长：(3 + 4 + 5) × 10 = 120。圆柱和球不在美国 6.G.A.4 和 7.G.B.6 的范围里，但 OpenStax 把圆柱和长方体放在同一节讲，国内六年级下册也学圆柱的表面积。

在家动手练表面积

孩子亲手把实物拆开，表面积最容易理解。下面四个活动只需要废纸箱、一支铅笔和一把尺子。

拆麦片盒。 打开粘好的折边，把盒子摊平，就得到了它的展开图。量出长、宽、高，精确到厘米，在每块上写出面积再相加。然后和 2(ab + ah + bh) 对比；粘合处重叠的折边是多出来的纸板，不算在表面积里。

包礼物。 长 30 厘米、宽 20 厘米、高 10 厘米的盒子，三种面分别是 600、300 和 200 平方厘米，表面积是 2 × (600 + 300 + 200) = 2200 平方厘米。剪一张比这稍大的包装纸，留出重叠的地方，再问孩子为什么纸要比精确答案大。

撕罐头的标签。 OpenStax 介绍过这个活动：如果小心地把罐头侧面的标签剪下来展开，你会看到它是一个长方形。标签的宽是罐头底面的周长 2πr，高是罐头的高。圆的周长和面积讲了 2πr 和 πr²。

例题中的圆柱 r = 3 厘米、h = 10 厘米，π 保留到最后一步再代入：

• 两个圆： 2 × π × 3² = 2 × π × 9 = 18π。
• 长方形： 2 × π × 3 × 10 = 60π。
• 合计： 18π + 60π = 78π。取 π ≈ 3.14，78 × 3.14 = 244.92 平方厘米。

算刷墙的面积。 长 4 米、宽 3 米、高 2.5 米的卧室，有两面墙是 4 × 2.5 = 10 平方米，两面是 3 × 2.5 = 7.5 平方米，四面墙合计 2 × 10 + 2 × 7.5 = 35 平方米。减去门和窗，再和油漆桶上印的涂刷面积比一比。

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规则：先画展开图

在套公式之前先画展开图，这个习惯能防住大多数错误。展开图里每个面只出现一次，少一个面或多算一个面都很容易发现。孩子能独立画出长方体、棱柱和棱锥的展开图以后，公式就成了算他们已经看得见的东西的捷径。

怎样检查表面积学得怎么样

五个小任务就能看出表面积学得怎么样。一周里每天给一个，看哪一个还慢。

• 长方体： 求长 4 厘米、宽 3 厘米、高 2 厘米的长方体的表面积。答案是 2 × (12 + 8 + 6) = 52 平方厘米。
• 正方体： 求棱长 5 厘米的正方体的表面积。答案是 6 × 25 = 150 平方厘米。
• 展开图： 画出三棱柱的展开图。必须有 2 个三角形和 3 个长方形。
• 单位： 说出 52 和同一个长方体的体积 24 各用什么单位。前者是平方厘米，后者是立方厘米。
• 实物： 量一个纸巾盒，求出它的表面积，精确到平方厘米。

五分钟小测试

五分钟的表面积小测试包括一个长方体、一个正方体和一个三棱柱，每个都要画展开图。展开图和计算分开打分。

展开图对了、总数却错了，问题出在乘法口诀上：五六年级的学生做一张练习纸，就要算几十次 7 × 8 和 6 × 9。六年级数学游戏和乘法口诀游戏能让这些口算保持熟练。展开图画错了，就回到上面的动手活动。

表面积的常见错误和特殊情况

大多数表面积的错误来自五种情况，每种都有简单的纠正办法。

• 只算三个面： 答案只有正确答案的一半。把三个不同的面加起来再乘 2，或者把六个面全部列出来。
• 三条棱相乘： 5 × 3 × 2 = 30 是体积。棱长要两两相乘。
• 用了体积单位： 表面积写成了 cm³。面积永远用平方单位。
• 单位不统一： 长 0.6 米、宽 10 厘米、高 10 厘米的盒子，要先统一成 60 × 10 × 10 厘米，得到 2 × (600 + 600 + 100) = 2600 平方厘米。
• 把直径当半径： 直径 6 厘米的罐头，r = 3 厘米。代入 2πr² + 2πrh 之前，先把直径除以 2。

特殊情况：棱长扩大到 2 倍，表面积扩大到 4 倍

图形的每条棱都扩大到原来的 2 倍，表面积就扩大到原来的 4 倍。5 × 3 × 2 厘米的盒子表面积是 62 平方厘米，10 × 6 × 4 厘米的盒子是 2 × (60 + 40 + 24) = 248 平方厘米，正好是 4 × 62。每个面都是长度乘长度，两个长度都扩大到 2 倍，所以每个面的面积扩大到 2 × 2 = 4 倍。

体积增长得更快。小盒子的体积是 30 立方厘米，大盒子是 240 立方厘米，是它的 8 倍，因为体积是三个扩大了 2 倍的长度相乘：2 × 2 × 2 = 8。体积讲解里有更多这种比例变化的例子。

表面积检查清单和下一步

• 先画展开图： 计算之前先画出平面图形，数清有几个面。
• 两两相乘： 每个面用两条棱，绝不是三条。
• 成组计算： 长方体求出 3 个面的面积，相加后乘 2。
• 圆： 直径先除以 2，π 留到最后一步，并写明取的 π 值。
• 单位： 先统一单位，答案用平方单位。
• 检验： 把展开图的每个面逐个相加，和公式的结果比一比。

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