Doğrunun eğimi nasıl bulunur: iki noktadan, grafikten ya da denklemden

Bir yokuşun başındaki trafik levhasında “%8” yazıyor, çocuğunuzun ödevi de ızgaradaki iki nokta arasındaki eğimi soruyor. İkisi de aynı soruya çıkar: eğim nedir? Cevap, bir şeyin ileri doğru attığı her adımda ne kadar yükseldiğidir. Eğimin nasıl bulunacağını öğrenmek bir formül, bir resim ve çıkarmaları aynı sırayla yapma alışkanlığı ister; iki noktadan, bir grafikten ya da bir denklemden başlasanız da işe yarar.

Eğim ne demektir: dikey değişim bölü yatay değişim

Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve hangi yöne gittiğini söyleyen bir sayıdır. OpenStax Elementary Algebra 2e onu tek cümleyle tanımlar: bir doğrunun eğimi, yükselmenin (dikey değişim) ilerlemeye (yatay değişim) oranıdır. Eğim dikey değişim ÷ yatay değişimdir ve m harfiyle yazılır.

Eğimin 2 olması, doğrunun sağa doğru gittiği her 1 birim için 2 birim yükseldiği demektir. Eğimi 1/2 olan bir doğru her 2 birim yatayda 1 birim yükselir, yani yarı yarıya diktir. Eğim bir oran olduğu için 6/3 gibi kesirler paslandıysa oranlar rehberi iyi bir hazırlıktır.

Türkiye'de eğim 8. sınıfta, doğrusal denklemler ünitesinde öğretilir. MEB'in 2018 Matematik Dersi Öğretim Programı “Doğrunun eğimini modellerle açıklar, doğrusal denklemleri ve grafiklerini eğimle ilişkilendirir” kazanımını (M.8.2.2.6) verir, eğimin işaretinin ve büyüklüğünün anlamı üzerinde durulmasını ister ve günlük hayat modellerinde eğimin dikey uzunluğun yatay uzunluğa oranı olduğunu belirtir. ABD'de Common Core 8.EE.B.6 standardı öğrencilerden, dikey olmayan bir doğru üzerindeki herhangi iki farklı nokta arasında eğimin neden aynı olduğunu benzer üçgenlerle açıklamalarını ister. Doğru üzerindeki herhangi iki noktanın aynı cevabı vermesinin sebebi budur.

Pozitif, negatif, sıfır ve tanımsız eğim

Eğimin dört çeşidi vardır ve doğrunun yönü, hiçbir hesap yapmadan hangisinin söz konusu olduğunu söyler. OpenStax ilk ikisini açıkça yazar: soldan sağa okunurken yükselen bir doğrunun eğimi pozitif, alçalan bir doğrunun eğimi negatiftir.

Yatay bir doğrunun dikey değişimi yoktur, bu yüzden eğimi 0'dır. Dikey bir doğrunun yatay değişimi yoktur; OpenStax x = a dikey doğrusunun eğiminin tanımsız olduğunu belirtir. Önce işareti yüksek sesle söylemek (“bu doğru alçalıyor, cevap negatif”) işaret hatalarının çoğunu sonradan yakalar.

Her eğim çeşidi, saatlik ücretten bir duvara kadar farklı bir gerçek durumu anlatır.

İki noktadan eğim adım adım nasıl bulunur?

İki noktadan eğim formülü m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)'dir: y'deki değişim bölü x'teki değişim. (1, 2) ve (4, 8) noktalarını alalım.

1. Noktaları adlandırın. (1, 2)'ye birinci nokta deyin: x₁ = 1 ve y₁ = 2. (4, 8)'e ikinci nokta deyin: x₂ = 4 ve y₂ = 8.
2. Dikey değişimi bulun. y değerlerini çıkarın: y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6. Doğru 6 birim yükselir.
3. Yatay değişimi bulun. x değerlerini aynı sırayla çıkarın: x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3. Doğru 3 birim sağa gider.
4. Dikey değişimi yatay değişime bölün. m = 6 ÷ 3 = 2. Önce 6/3 diye kesir olarak yazın, sonra sadeleştirin.
5. İşareti kontrol edin. Doğru soldan sağa yükselir, bu yüzden pozitif bir cevap mantıklıdır.
6. Üçüncü bir noktayla kontrol edin. Eğimin 2 olması, sağa doğru bir adımın y'ye 2 eklemesi demektir; bu yüzden (5, 10) doğru üzerinde olmalıdır: (10 − 2) ÷ (5 − 1) = 8 ÷ 4 = 2.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınX'i Bul6. sınıf+

En çok karıştırılan nokta: farklı sırayla çıkarmak

y değerlerini bir sırayla, x değerlerini öbür sırayla çıkarmak cevabın işaretini ters çevirir. (1, 2) ve (4, 8) için karışık sıralı (8 − 2) ÷ (1 − 4) işlemi 6 ÷ (−3) = −2 verir; bu da yükselen doğruya alçalıyor dedirtir.

Payda ve paydada aynı sırayı korursanız iki sıra da işe yarar. İkinci noktadan başlamak (2 − 8) ÷ (1 − 4) = −6 ÷ (−3) = 2 verir, yani aynı eğimi. Hesaplamadan önce iki çıkarmayı da tek bir kesirde, her birinde aynı nokta önde olacak şekilde yazın.

Negatif koordinatlar parantez ister. (−2, 5) ve (3, −5) için eğim (−5 − 5) ÷ (3 − (−2)) = −10 ÷ 5 = −2'dir. Negatif bir sayıyı çıkarmak sizi zorluyorsa negatif sayılar rehberi kuralı anlatır.

Grafikten ve denklemden eğim nasıl bulunur?

Grafikte eğim, doğrunun ızgara köşelerinden geçtiği iki nokta seçilip sayılarak bulunur. Yukarı ya da aşağı kareleri (dikey değişim), sağa doğru kareleri (yatay değişim) sayın ve bölün. Sağa doğru 4 kare giderken 3 kare alçalan bir doğrunun eğimi −3/4'tür.

Denklemden eğim en hızlı y = mx + n biçiminde bulunur; ABD'de bu biçim y = mx + b diye yazılır. Common Core 8.EE.B.6 öğrencilerden orijinden geçen doğru için y = mx denklemini ve dikey ekseni b'de kesen doğru için y = mx + b denklemini çıkarmalarını ister. y = 3x − 4 doğrusunun eğimi 3'tür ve doğru y eksenini −4'te keser.

En hızlı yöntem size verilene bağlıdır. İki nokta formülü, çizilmiş bir doğru kare saymayı, bir denklem de y = mx + n biçimini ister. Bir değer tablosu iki nokta gibi işler: herhangi iki satırı seçin.

Denklem y = mx + n biçiminde değilse ne olur?

2x + 3y = 12 gibi bir denklem, y yalnız bırakılana kadar eğimini saklar. İki taraftan 2x çıkararak 3y = −2x + 12 elde edin, sonra her terimi 3'e bölün: y = −2/3 x + 4. Eğim −2/3'tür.

Bu düzenleme, denklem çözmekle aynı beceridir. x nasıl bulunur rehberi iki tarafta toplamayı ve bölmeyi geri almayı adım adım anlatır.

Günlük hayatta eğim: yollar, çatılar ve oranlar

Eğim, bir şeyin sabit bir hızla değiştiği her yerde karşınıza çıkar. “%8” yazan bir yokuş levhası, yolun her 100 metrelik yatay mesafede 8 metre yükseldiğini söyler: eğim 8/100'dür ve eğim × 100 = %8 eder. OpenStax bir yolun eğiminin yüzde olarak ifade edilen eğim olduğunu belirtir; yüzdeye çevirmeyi yüzde hesaplama rehberi anlatır.

Tekerlekli sandalye rampaları bir eğim kuralına uyar. ABD'deki 2010 ADA Standartları, bölüm 405.2, rampa bölümlerinin eğiminin 1:12'den dik olmamasını ister; yani her 12 cm yatay uzunluk için en fazla 1 cm yükselme. Bu yüzden 75 cm yüksekliğindeki bir basamak en az 75 × 12 = 900 cm, yani 9 metre rampa uzunluğu ister.

Tarayıcıda ücretsiz oynayınYüzdeler5. sınıf+

Çatı eğimi ve birim oran

ABD'de çatı eğimi, 12 inçlik yatay uzunluk başına yükselme olarak yazılır. OpenStax bir binanın çatısının “pitch” denen eğiminin çatının eğimi olduğunu not eder; 6/12'lik bir çatı her 12 inç yatayda 6 inç yükselir, yani eğimi 6 ÷ 12 = 1/2'dir. Türkiye'de aynı çatı genellikle %50 eğim olarak söylenir.

Grafikteki birim oran da bir eğimdir. Common Core 8.EE.B.5 öğrencilerden orantılı ilişkilerin grafiğini çizip birim oranı grafiğin eğimi olarak yorumlamalarını ister. 6 saatlik iş için 900 TL kazanıyorsanız (0, 0) ve (6, 900) noktalarından geçen doğrunun eğimi 900 ÷ 6 = 150'dir, yani saatte 150 TL.

Eğimde ilerlemenizi nasıl kontrol edersiniz?

Beş kısa soru, eğimi anlayıp anlamadığınızı ya da bir formülü kopyalayıp kopyalamadığınızı gösterir. Notlara bakmadan deneyin, sonra kontrol edin.

• İki nokta: (2, 3) ve (6, 11) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun. Cevap 8 ÷ 4 = 2'dir.
• Negatif noktalar: (−1, 4) ve (3, −4) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulun. Cevap −8 ÷ 4 = −2'dir.
• Denklem: y = −5x + 7 doğrusunun eğimini ve y eksenini kestiği noktayı söyleyin. Eğim −5, kesişim noktası 7'dir.
• Gizli eğim: 4x + 2y = 10 doğrusunun eğimini bulun. Düzenleyince y = −2x + 5 çıkar, eğim −2'dir.
• Yatay ve dikey: y = 6 ve x = 6 doğrularının eğimini söyleyin. Birincisi 0, ikincisi tanımsızdır.

On dakikalık bir öz değerlendirme testi

On dakikalık bir eğim testi her kaynaktan bir soruyu karıştırır: iki nokta, bir grafik ve bir denklem. Hesaplamadan önce beklenen işareti yüksek sesle söyleyin ve kendinizi yalnızca cevaba göre değil yönteme göre de puanlayın.

Yöntemi doğru ama işlemi yanlış yapmak cebire değil temel sayı bilgilerine işaret eder. Common Core 8.F.B.4, değişim oranını tablodan ya da grafikten okunanlar dahil iki (x, y) değerinden bulmayı bekler; bu adımların her biri negatif sayılarla hızlı çıkarma ve bölmeye dayanır. Yetişkin olarak matematikte daha iyi olmak rehberindeki plan bu bilgileri kısa günlük oturumlarla yeniden kurmayı gösterir.

Eğimde sık yapılan hatalar ve sınır durumlar

Yanlış eğim cevaplarının çoğunu dört hata doğurur ve her birinin kısa bir çözümü vardır.

• Yatay bölü dikey: 6 ÷ 3 yerine 3 ÷ 6 yapmak 2 yerine 1/2 verir. “Dikey bölü yatay” deyin ve y değerlerini her seferinde üste yazın.
• Karışık çıkarma sırası: Üstte y₂ − y₁, altta x₁ − x₂ almak işareti ters çevirir. İki çıkarmayı da aynı nokta önde olacak şekilde yazın.
• Negatiflerle işaret hataları: 3 − (−2), 1 değil 5'tir. Çıkarmadan önce her negatif koordinatı paranteze alın.
• n'yi eğim sanmak: y = 4 + 3x doğrusunda eğim, x'e bağlı sayı olan 3'tür. Sıra kafanızı karıştırıyorsa denklemi y = 3x + 4 diye yeniden yazın.

Sınır durum: dikey doğrunun eğimi tanımsızdır

Dikey bir doğrunun her noktasında x değeri aynıdır, bu yüzden yatay değişim 0'dır ve formül sıfıra böler. (3, 1) ve (3, 6) için eğim (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0 olurdu ve bunun cevabı yoktur.

Tanımsız, sıfırla aynı şey değildir. (1, 4) ve (5, 4) noktalarından geçen yatay doğru 0 ÷ 4 = 0 verir; bu, “düz” anlamına gelen gerçek bir eğimdir. Dikey doğru sıfıra bölme verir, bu yüzden eğimi yoktur ve denklemi y = mx + n yerine x = 3 diye yazılır.

Eğim kontrol listeniz ve sonraki adımlar

• Önce işaret: doğruya bakın ve eğimin pozitif, negatif, sıfır ya da tanımsız olduğunu söyleyin.
• İki nokta: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) formülünü, üstte ve altta aynı nokta önde olacak şekilde kullanın.
• Parantez: çıkarmadan önce her negatif koordinatı paranteze alın.
• Sadeleştirin: eğimi önce kesir olarak yazın, sonra sadeleştirin, örneğin 6/3 = 2.
• Denklemler: y'yi yalnız bırakıp y = mx + n biçimine getirin, sonra m'yi okuyun.
• Kontrol: cevabı doğrulamak için üçüncü bir noktayı ya da grafiği deneyin.

Tarayıcıdaki ücretsiz x bulma oyunu, y = mx + n biçiminin arkasındaki denklem adımlarını kayıt olmadan çalıştırır. Cebiri yeniden kuran yetişkinler yetişkinler için matematik oyunu sayfasını da deneyebilir.

MathIt, yaklaşık 90 oyun türü, uyarlanabilir zorluk ve eğimin arkasındaki işlemleri, yani negatif sayıları, kesirleri ve bölmeyi hızlı tutan kısa bir günlük alıştırma sunan ücretsiz bir iOS ve Android uygulamasıdır. 33 dilin herhangi birinde 1 ila 4 arkadaşınızı gerçek zamanlı matematik düellolarına da davet edebilirsiniz.