Die Steigung einer Geraden berechnen: aus zwei Punkten, dem Graphen oder der Gleichung

Ein Verkehrsschild vor einem Berg zeigt „8 %“, und die Hausaufgabe Ihres Kindes in der 8. Klasse fragt nach der Steigung zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem. Beide führen zur selben Frage, was die Steigung ist, und die Antwort lautet: wie weit etwas pro Schritt nach vorn nach oben geht. Die Steigung berechnen braucht eine Formel, ein Bild und die Gewohnheit, in derselben Reihenfolge zu subtrahieren, und das klappt mit zwei Punkten, einem Graphen oder einer Gleichung.

Was die Steigung bedeutet: Höhe durch Breite

Die Steigung ist eine Zahl, die angibt, wie steil eine Gerade ist und in welche Richtung sie verläuft. OpenStax Elementary Algebra 2e definiert sie in einem Satz als das Verhältnis von Anstieg zu Lauf, auf Englisch „rise“ und „run“. Der Anstieg ist der senkrechte Unterschied, der Lauf der waagerechte, und die Steigung ist Anstieg : Lauf, geschrieben mit dem Buchstaben m.

Eine Steigung von 2 heißt, dass die Gerade für jede Einheit nach rechts um 2 Einheiten steigt. Eine Steigung von 1/2 steigt um 1 Einheit auf 2 Einheiten nach rechts, ist also halb so steil. Weil die Steigung ein Verhältnis ist, hilft der Leitfaden zu Verhältnissen, wenn Brüche wie 6/3 eingerostet sind.

Die Steigung steht im Zentrum der linearen Funktionen in Klasse 7 und 8. Der Bildungsplan Baden-Württemberg für die Klassen 7 bis 9 verlangt, „aus den Koordinaten zweier Punkte zunächst die Steigung, dann den y-Achsenabschnitt der zugehörigen Geraden berechnen“ zu können. In den USA verlangt der Common-Core-Standard 8.EE.B.6, mit ähnlichen Dreiecken zu begründen, warum die Steigung m zwischen zwei beliebigen Punkten einer Geraden gleich ist, und genau deshalb liefern alle Punktpaare dasselbe Ergebnis.

Positive, negative Steigung, Steigung null und keine Steigung

Die Steigung gibt es in vier Arten, und die Richtung der Geraden verrät die Art, bevor man etwas rechnet. OpenStax nennt die ersten beiden klar: Eine Gerade, die beim Lesen von links nach rechts steigt, hat eine positive Steigung, eine fallende Gerade eine negative.

Eine waagerechte Gerade steigt nicht, also ist ihre Steigung 0. Eine senkrechte Gerade hat keinen waagerechten Lauf, und OpenStax hält fest, dass die Steigung einer senkrechten Geraden x = a nicht definiert ist. Wer das Vorzeichen zuerst laut sagt („die Gerade fällt, also ist das Ergebnis negativ“), fängt die meisten Vorzeichenfehler ab.

Jede Art von Steigung beschreibt eine andere Situation, vom Stundenlohn bis zur Wand.

Die Steigung aus zwei Punkten berechnen: Schritt für Schritt

Die Formel für die Steigung aus zwei Punkten lautet m = (y2 − y1) : (x2 − x1): die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x. In deutschen Schulbüchern steht sie meist als Bruch, der Differenzenquotient. Nehmen Sie die Punkte P(1|2) und Q(4|8).

1. Die Punkte benennen. P(1|2) ist der erste Punkt, also x1 = 1 und y1 = 2. Q(4|8) ist der zweite, also x2 = 4 und y2 = 8.
2. Den Höhenunterschied berechnen. Die y-Werte subtrahieren: y2 − y1 = 8 − 2 = 6. Die Gerade steigt um 6 Einheiten.
3. Den waagerechten Unterschied berechnen. Die x-Werte in derselben Reihenfolge subtrahieren: x2 − x1 = 4 − 1 = 3. Die Gerade geht 3 Einheiten nach rechts.
4. Höhe durch Breite teilen. m = 6 : 3 = 2. Zuerst als Bruch 6/3 schreiben, dann kürzen.
5. Das Vorzeichen prüfen. Die Gerade steigt von links nach rechts, also passt ein positives Ergebnis.
6. Mit einem dritten Punkt prüfen. Steigung 2 heißt: Ein Schritt nach rechts erhöht y um 2, also muss (5|10) auf der Geraden liegen: (10 − 2) : (5 − 1) = 8 : 4 = 2.

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Der typische Fehler: in verschiedener Reihenfolge subtrahieren

Wer die y-Werte in der einen Reihenfolge und die x-Werte in der anderen subtrahiert, dreht das Vorzeichen um. Für P(1|2) und Q(4|8) ergibt die gemischte Version (8 − 2) : (1 − 4) = 6 : (−3) = −2, als ob die Gerade fiele, obwohl sie steigt.

Beide Reihenfolgen funktionieren, wenn sie oben und unten gleich sind. Beginnt man mit dem zweiten Punkt, ergibt sich (2 − 8) : (1 − 4) = −6 : (−3) = 2, dieselbe Steigung. Schreiben Sie beide Subtraktionen in einen Bruch, bevor Sie rechnen, mit demselben Punkt jeweils zuerst.

Negative Koordinaten brauchen Klammern. Für (−2|5) und (3|−5) ist die Steigung (−5 − 5) : (3 − (−2)) = −10 : 5 = −2. Wenn das Subtrahieren negativer Zahlen Schwierigkeiten macht, erklärt der Leitfaden zu negativen Zahlen die Regel.

Die Steigung am Graphen und aus der Gleichung ablesen

Am Graphen findet man die Steigung mit einem Steigungsdreieck zwischen zwei Punkten, an denen die Gerade Gitterecken trifft. Zählen Sie die Kästchen nach oben oder unten (den Höhenunterschied), dann die Kästchen nach rechts (den waagerechten Unterschied), und teilen Sie. Eine Gerade, die auf 4 Kästchen nach rechts um 3 Kästchen fällt, hat die Steigung −3/4.

Aus einer Gleichung liest man die Steigung am schnellsten in der Normalform y = m · x + b ab. Der Common-Core-Standard 8.EE.B.6 verlangt, die Gleichung y = mx für eine Gerade durch den Ursprung und y = mx + b für eine Gerade mit dem y-Achsenabschnitt b herzuleiten; der baden-württembergische Bildungsplan schreibt dieselbe Gerade als y = mx + c. Bei y = 3x − 4 ist die Steigung 3, und die Gerade schneidet die y-Achse bei −4.

Die schnellste Methode hängt davon ab, was gegeben ist. Zwei Punkte verlangen die Formel, eine gezeichnete Gerade das Steigungsdreieck und eine Gleichung die Normalform. Eine Wertetabelle funktioniert wie zwei Punkte: zwei beliebige Zeilen nehmen.

Was, wenn die Gleichung nicht in der Form y = m · x + b steht?

Eine Gleichung wie 2x + 3y = 12 verbirgt ihre Steigung, bis man nach y auflöst. Auf beiden Seiten 2x subtrahieren ergibt 3y = −2x + 12, dann jeden Term durch 3 teilen: y = −2/3 x + 4. Die Steigung ist −2/3.

Dieses Umformen ist dieselbe Fähigkeit wie das Lösen einer Gleichung Schritt für Schritt. Der Leitfaden Gleichungen nach x auflösen zeigt, wie man Addition und Division auf beiden Seiten rückgängig macht.

Steigung im Alltag: Straßen, Dächer und Raten

Die Steigung taucht überall auf, wo sich etwas gleichmäßig ändert. Ein Verkehrsschild mit „8 %“ Steigung bedeutet, dass die Straße auf 100 m waagerechte Strecke um 8 m steigt: eine Steigung von 8/100, und Steigung · 100 = 8 %. OpenStax hält fest, dass man die Steigung einer Straße als Prozentzahl angibt, und der Leitfaden zum Prozentrechnen erklärt die Umrechnung.

Rollstuhlrampen folgen einer Steigungsregel. Die ADA-Standards von 2010, Abschnitt 405.2, die in den USA gelten, erlauben für Rampen höchstens eine Steigung von 1 : 12, also 1 cm Höhe auf 12 cm Länge, etwa 8,3 %. Eine Stufe von 30 cm Höhe braucht danach mindestens 30 · 12 = 360 cm Rampe, also 3,6 m.

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Dachneigung und Änderungsraten

Die Dachneigung ist ebenfalls eine Steigung. In Deutschland gibt man sie meist in Grad an, in den USA als Höhe pro 12 Zoll Breite: OpenStax nennt die Neigung eines Dachs seine Steigung, und ein „6/12“-Dach steigt um 6 Zoll auf 12 Zoll, also mit der Steigung 6 : 12 = 1/2.

Eine Änderungsrate im Graphen ist auch eine Steigung. Der Common-Core-Standard 8.EE.B.5 verlangt, proportionale Zusammenhänge zu zeichnen und die Rate pro Einheit als Steigung des Graphen zu deuten. Wer für 6 Stunden Arbeit 90 € verdient, hat eine Gerade durch (0|0) und (6|90) mit der Steigung 90 : 6 = 15, also 15 € pro Stunde.

So prüfen Sie Ihren Lernstand bei der Steigung

Fünf kurze Fragen zeigen, ob Sie die Steigung verstehen oder eine Formel abschreiben. Lösen Sie sie ohne Notizen und prüfen Sie dann.

• Zwei Punkte: die Steigung durch (2|3) und (6|11) berechnen. Die Antwort ist 8 : 4 = 2.
• Negative Punkte: die Steigung durch (−1|4) und (3|−4) berechnen. Die Antwort ist −8 : 4 = −2.
• Die Gleichung: Steigung und Achsenabschnitt von y = −5x + 7 nennen. Die Steigung ist −5, der Achsenabschnitt 7.
• Die versteckte Steigung: die Steigung von 4x + 2y = 10 finden. Auflösen ergibt y = −2x + 5, also ist die Steigung −2.
• Waagerecht und senkrecht: die Steigung von y = 6 und von x = 6 angeben. Die erste ist 0, die zweite ist nicht definiert.

Ein Zehn-Minuten-Selbsttest

Ein Zehn-Minuten-Test zur Steigung mischt je eine Frage aus jeder Quelle: zwei Punkte, ein Graph und eine Gleichung. Sagen Sie vor dem Rechnen das erwartete Vorzeichen laut, und bewerten Sie den Weg genauso wie das Ergebnis.

Ein richtiger Weg mit falscher Rechnung zeigt auf das Einmaleins und die Grundrechenarten, nicht auf die Algebra. Der Common-Core-Standard 8.F.B.4 verlangt, die Änderungsrate aus zwei Wertepaaren zu bestimmen, auch aus einer Tabelle oder einem Graphen, und jeder dieser Schritte stützt sich auf schnelles Subtrahieren und Dividieren mit negativen Zahlen. Der Plan in Als Erwachsener besser in Mathe werden zeigt, wie man diese Grundlagen in kurzen täglichen Einheiten wieder aufbaut.

Typische Fehler und Sonderfälle bei der Steigung

Vier Fehler verursachen die meisten falschen Steigungen, und jeder hat eine kurze Lösung.

• Breite durch Höhe: 3 : 6 statt 6 : 3 ergibt 1/2 statt 2. „Höhe durch Breite“ sagen und die y-Werte immer nach oben in den Bruch schreiben.
• Gemischte Reihenfolge: oben y2 − y1, aber unten x1 − x2 dreht das Vorzeichen um. Beide Subtraktionen mit demselben Punkt zuerst schreiben.
• Vorzeichenfehler mit negativen Zahlen: 3 − (−2) ist 5, nicht 1. Jede negative Koordinate vor dem Subtrahieren in Klammern setzen.
• b für die Steigung halten: Bei y = 4 + 3x ist die Steigung 3, die Zahl beim x. Die Gleichung als y = 3x + 4 umschreiben, wenn die Reihenfolge verwirrt.

Sonderfall: Eine senkrechte Gerade hat keine Steigung

Eine senkrechte Gerade hat an jedem Punkt denselben x-Wert, also ist der waagerechte Unterschied 0, und die Formel teilt durch null. Für (3|1) und (3|6) wäre die Steigung (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, und das hat kein Ergebnis.

Nicht definiert ist etwas anderes als null. Eine waagerechte Gerade durch (1|4) und (5|4) ergibt 0 : 4 = 0, eine echte Steigung, die „flach“ bedeutet. Eine senkrechte Gerade führt auf eine Division durch null, also gibt es keine Steigung, und ihre Gleichung heißt x = 3 statt y = m · x + b.

Ihre Steigungs-Checkliste und die nächsten Schritte

• Zuerst das Vorzeichen: die Gerade ansehen und sagen, ob die Steigung positiv, negativ, null oder nicht definiert ist.
• Zwei Punkte: m = (y2 − y1) : (x2 − x1) mit demselben Punkt oben und unten zuerst.
• Klammern: jede negative Koordinate vor dem Subtrahieren einklammern.
• Kürzen: die Steigung als Bruch schreiben und dann kürzen, etwa 6/3 = 2.
• Gleichungen: nach y auflösen, bis y = m · x + b dasteht, dann m ablesen.
• Probe: einen dritten Punkt oder das Steigungsdreieck im Graphen prüfen.

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