Como calcular o coeficiente angular da reta por dois pontos, pelo gráfico ou pela equação

Uma placa na estrada avisa "declive acentuado", e a lição de casa do seu filho pede o coeficiente angular da reta que passa por dois pontos de um quadriculado. As duas coisas levam à mesma pergunta, o que é inclinação, e a resposta é quanto algo sobe a cada passo que anda para a frente. Aprender a calcular o coeficiente angular pede uma fórmula, um desenho e o hábito de subtrair sempre na mesma ordem, e funciona quer você comece por dois pontos, por um gráfico ou por uma equação.

O que é a inclinação: quanto sobe a cada passo para o lado

O coeficiente angular é o número que diz quanto uma reta é inclinada e para que lado ela vai. O OpenStax Elementary Algebra 2e define em uma linha: "a inclinação de uma reta é a razão entre a subida e o avanço". A subida é a variação vertical, o avanço é a variação horizontal, e o coeficiente angular é subida ÷ avanço, escrito com a letra m na geometria analítica e com a letra a na função afim.

Um coeficiente angular 2 quer dizer que a reta sobe 2 unidades a cada 1 unidade que anda para a direita. Um coeficiente angular 1/2 sobe 1 unidade a cada 2 unidades para o lado, então é metade da inclinação. Como o coeficiente angular é uma razão, o guia de razões é uma boa base se frações como 6/3 estão enferrujadas.

A inclinação está no centro da álgebra do 9º ano e da função afim do ensino médio. A BNCC pede no 9º ano "compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica" (EF09MA06). Nos Estados Unidos, o padrão 8.EE.B.6 do Common Core pede que o aluno "use triângulos semelhantes para explicar por que a inclinação m é a mesma entre dois pontos distintos quaisquer de uma reta não vertical no plano cartesiano". Essa frase é o motivo de quaisquer dois pontos da reta darem a mesma resposta.

Coeficiente angular positivo, negativo, zero e não definido

O coeficiente angular tem quatro tipos, e a direção da reta diz qual você tem antes de qualquer conta. O OpenStax diz as duas primeiras com clareza: uma reta que sobe quando lida da esquerda para a direita "tem inclinação positiva", e uma reta que desce "tem inclinação negativa".

Uma reta horizontal não sobe nada, então o coeficiente angular dela é 0. Uma reta vertical não anda nada para o lado, e o OpenStax afirma que "a inclinação de uma reta vertical, x = a, não está definida". Falar o sinal em voz alta primeiro ("essa reta desce, então a resposta é negativa") pega a maioria dos erros de sinal depois.

Cada tipo de inclinação descreve uma situação real diferente, do pagamento por hora a uma parede.

Como calcular o coeficiente angular por dois pontos, passo a passo

A fórmula do coeficiente angular por dois pontos é m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁): a variação de y dividida pela variação de x. Pegue os pontos (1, 2) e (4, 8).

1. Dê nome aos pontos. Chame (1, 2) de primeiro ponto, então x₁ = 1 e y₁ = 2. Chame (4, 8) de segundo ponto, então x₂ = 4 e y₂ = 8.
2. Ache a subida. Subtraia os valores de y: y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6. A reta sobe 6 unidades.
3. Ache o avanço. Subtraia os valores de x na mesma ordem: x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3. A reta anda 3 unidades para a direita.
4. Divida a subida pelo avanço. m = 6 ÷ 3 = 2. Escreva primeiro como fração, 6/3, e simplifique.
5. Confira o sinal. A reta sobe da esquerda para a direita, então uma resposta positiva faz sentido.
6. Confira com um terceiro ponto. Um coeficiente angular 2 quer dizer que um passo para a direita soma 2 ao y, então (5, 10) deve estar na reta: (10 − 2) ÷ (5 − 1) = 8 ÷ 4 = 2.

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Onde quase todo mundo erra: subtrair em ordens diferentes

Subtrair os valores de y numa ordem e os de x na outra inverte o sinal da resposta. Para (1, 2) e (4, 8), a versão misturada (8 − 2) ÷ (1 − 4) dá 6 ÷ (−3) = −2, que diz que a reta desce quando ela sobe.

Qualquer ordem funciona se for a mesma em cima e embaixo. Começar pelo segundo ponto dá (2 − 8) ÷ (1 − 4) = −6 ÷ (−3) = 2, o mesmo coeficiente angular. Escreva as duas subtrações numa fração só antes de calcular, com o mesmo ponto primeiro em cada uma.

Coordenadas negativas pedem parênteses. Para (−2, 5) e (3, −5), o coeficiente angular é (−5 − 5) ÷ (3 − (−2)) = −10 ÷ 5 = −2. Se subtrair um número negativo atrapalha, o guia de números negativos explica a regra.

Como achar o coeficiente angular pelo gráfico e pela equação

O coeficiente angular no gráfico se acha escolhendo dois pontos onde a reta passa exatamente pelos cantos do quadriculado e contando. Conte os quadradinhos para cima ou para baixo (a subida), conte os quadradinhos para a direita (o avanço) e divida. Uma reta que desce 3 quadradinhos enquanto anda 4 para a direita tem coeficiente angular −3/4.

O coeficiente angular pela equação sai mais rápido na forma y = ax + b, a lei da função afim. O Common Core 8.EE.B.6 pede que o aluno "deduza a equação y = mx de uma reta que passa pela origem e a equação y = mx + b de uma reta que corta o eixo vertical em b", a mesma forma que no Brasil se escreve y = ax + b. Em y = 3x − 4, o coeficiente angular é 3 e a reta corta o eixo y em −4.

O método mais rápido depende do que você recebe. Dois pontos pedem a fórmula, uma reta desenhada pede a contagem de quadradinhos, e uma equação pede y = ax + b. Uma tabela de valores funciona como dois pontos: escolha duas linhas quaisquer.

E se a equação não estiver na forma y = ax + b?

Uma equação como 2x + 3y = 12, a equação geral da reta, esconde o coeficiente angular até você isolar o y. Subtraia 2x dos dois lados para obter 3y = −2x + 12 e depois divida cada termo por 3: y = −2/3 x + 4. O coeficiente angular é −2/3.

Essa reorganização é a mesma habilidade de resolver uma equação, passo a passo. O guia de como resolver equações mostra como desfazer a soma e a divisão dos dois lados.

Inclinação na vida real: rampas, telhados e taxas

A inclinação aparece sempre que algo muda num ritmo constante. Uma rua com inclinação de 8% sobe 8 m a cada 100 m de distância na horizontal: um coeficiente angular de 8/100, e coeficiente angular × 100 = 8%. O OpenStax afirma que "a inclinação de uma estrada é o coeficiente angular expresso em porcentagem", e o guia de porcentagem mostra a conversão.

As rampas para cadeira de rodas seguem uma regra de inclinação. As Normas ADA de 2010, seção 405.2, dos Estados Unidos, dizem que "os trechos de rampa devem ter inclinação não maior que 1:12", ou seja, 1 cm de subida a cada 12 cm de avanço, cerca de 8,33%, o mesmo limite usado nas rampas acessíveis do Brasil. Um degrau de 30 cm de altura precisa então de pelo menos 30 × 12 = 360 cm de rampa, que são 3,6 m.

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Inclinação do telhado e taxa unitária

A inclinação do telhado é um coeficiente angular escrito em porcentagem. O OpenStax observa que "o caimento do telhado de um prédio é a inclinação do telhado", e um telhado de 30% sobe 30 cm a cada 1 m na horizontal, um coeficiente angular de 30 ÷ 100 = 0,3. Nos Estados Unidos, o mesmo caimento se escreve como subida sobre 12 polegadas: um telhado 6/12 tem coeficiente angular 6 ÷ 12 = 1/2.

Uma taxa unitária num gráfico também é um coeficiente angular. O Common Core 8.EE.B.5 pede que o aluno "faça o gráfico de relações proporcionais, interpretando a taxa unitária como a inclinação do gráfico". Se você ganha R$ 90 por 6 horas de trabalho, a reta que passa por (0, 0) e (6, 90) tem coeficiente angular 90 ÷ 6 = 15, que são R$ 15 por hora.

Como acompanhar o seu progresso com o coeficiente angular

Cinco perguntas curtas mostram se você entende o coeficiente angular ou só copia uma fórmula. Tente sem consultar e depois confira.

• Dois pontos: ache o coeficiente angular da reta que passa por (2, 3) e (6, 11). A resposta é 8 ÷ 4 = 2.
• Pontos negativos: ache o coeficiente angular da reta que passa por (−1, 4) e (3, −4). A resposta é −8 ÷ 4 = −2.
• A equação: diga o coeficiente angular e o coeficiente linear de y = −5x + 7. O angular é −5 e o linear é 7.
• O coeficiente escondido: ache o coeficiente angular de 4x + 2y = 10. Isolando o y, fica y = −2x + 5, então o coeficiente angular é −2.
• A horizontal e a vertical: dê o coeficiente angular de y = 6 e de x = 6. O primeiro é 0, o segundo não está definido.

Um autoteste de dez minutos

Um teste de dez minutos mistura uma questão de cada fonte: dois pontos, um gráfico e uma equação. Fale o sinal esperado em voz alta antes de calcular e dê nota a você mesmo pelo método e pela resposta.

Acertar o método e errar a conta aponta para os fatos numéricos, não para a álgebra. O Common Core 8.F.B.4 espera que o aluno ache a taxa de variação "a partir de dois valores (x, y), inclusive lendo-os de uma tabela ou de um gráfico", e cada um desses passos depende de subtração e divisão rápidas com negativos. O plano do guia de como melhorar em matemática depois de adulto mostra como reconstruir esses fatos em sessões diárias curtas.

Erros comuns com o coeficiente angular e casos especiais

Quatro erros causam a maioria das respostas erradas, e cada um tem uma correção curta.

• Avanço sobre subida: dividir 3 ÷ 6 em vez de 6 ÷ 3 dá 1/2 em vez de 2. Diga "variação de y sobre variação de x" e ponha os valores de y em cima sempre.
• Ordem misturada na subtração: fazer y₂ − y₁ em cima e x₁ − x₂ embaixo inverte o sinal. Escreva as duas subtrações com o mesmo ponto primeiro.
• Erros de sinal com negativos: 3 − (−2) é 5, não 1. Ponha parênteses em toda coordenada negativa antes de subtrair.
• Ler o b como coeficiente angular: em y = 4 + 3x, o coeficiente angular é 3, o número que acompanha o x. Reescreva a equação como y = 3x + 4 se a ordem confundir.

Caso especial: a reta vertical não tem coeficiente angular

Uma reta vertical tem o mesmo valor de x em todos os pontos, então o avanço é 0 e a fórmula divide por zero. Para (3, 1) e (3, 6), o coeficiente angular seria (6 − 1) ÷ (3 − 3) = 5 ÷ 0, que não tem resposta.

Não definido é diferente de zero. Uma reta horizontal que passa por (1, 4) e (5, 4) dá 0 ÷ 4 = 0, um coeficiente angular de verdade que quer dizer "plana". Uma reta vertical dá uma divisão por zero, então o coeficiente angular não existe, e a equação dela se escreve x = 3 em vez de y = ax + b. Por isso uma reta vertical não é gráfico de função afim.

Sua lista de verificação do coeficiente angular e próximos passos

• Sinal primeiro: olhe a reta e diga se o coeficiente angular é positivo, negativo, zero ou não definido.
• Dois pontos: use m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) com o mesmo ponto primeiro em cima e embaixo.
• Parênteses: ponha cada coordenada negativa entre parênteses antes de subtrair.
• Simplifique: escreva o coeficiente angular como fração e depois simplifique, como 6/3 = 2.
• Equações: isole o y para chegar a y = ax + b e leia o a.
• Confira: teste um terceiro ponto ou o gráfico para confirmar a resposta.

O jogo de resolver equações, gratuito e no navegador, treina os passos de equação por trás da forma y = ax + b, sem cadastro. Adultos que estão reconstruindo a álgebra também podem experimentar o jogo de matemática para adultos.

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