Slik finner du stigningstallet fra to punkter, en graf eller en likning

Et skilt nederst i en bakke viser «stigning 8 %», og leksa til barnet ditt ber om stigningstallet mellom to punkter i et koordinatsystem. Begge fører til det samme spørsmålet, hva stigningstall er, og svaret er hvor mye noe stiger for hvert steg det går framover. Å finne stigningstallet krever én formel, én tegning og en vane med å trekke fra i samme rekkefølge, og det virker enten du starter fra to punkter, en graf eller en likning.

Hva stigningstall betyr: endring i y delt på endring i x

Stigningstallet er et tall som forteller hvor bratt en linje er og hvilken vei den går. OpenStax Elementary Algebra 2e definerer det på én linje: «Stigningstallet til en linje er forholdet mellom stigningen og den vannrette avstanden.» Stigningen er den loddrette endringen, den vannrette avstanden er endringen bortover, og stigningstallet er endringen i y delt på endringen i x. I norske lærebøker heter det a, og engelske bøker kaller det m.

Stigningstallet 2 betyr at linjen stiger 2 enheter for hver enhet den går mot høyre. Stigningstallet 1/2 stiger 1 enhet for hver 2 enheter bortover, så det er halvparten så bratt. Fordi stigningstallet er et forhold, er guiden om forhold god bakgrunn hvis brøker som 6/3 føles rustne.

I Norge skal eleven etter 10. trinn kunne «forklare begrepet endring per enhet og regne ut stigningstallet til lineære funksjoner», ifølge kompetansemålene etter 10. trinn i LK20. I USA ber Common Core-standarden 8.EE.B.6 elevene «bruke formlike trekanter til å forklare hvorfor stigningstallet m er det samme mellom to vilkårlige punkter på en linje som ikke er loddrett», og det er grunnen til at to vilkårlige punkter på en linje gir det samme svaret.

Positivt, negativt, null og ikke definert stigningstall

Stigningstall finnes i fire typer, og retningen på linjen forteller hvilken du har før du regner noe. OpenStax sier de to første rett ut: en linje som går opp når du leser fra venstre mot høyre, «har positivt stigningstall», og en linje som går ned, «har negativt stigningstall».

En vannrett linje har ingen stigning, så stigningstallet er 0. En loddrett linje har ingen endring i x, og OpenStax slår fast at «stigningstallet til en loddrett linje, x = a, er ikke definert». Si fortegnet høyt først («denne linjen synker, så svaret er negativt»), så fanger du de fleste fortegnsfeilene senere.

Hver type stigningstall beskriver en ulik situasjon i virkeligheten, fra timelønn til en vegg.

Slik finner du stigningstallet fra to punkter, steg for steg

Formelen for stigningstallet gjennom to punkter er a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁): endringen i y delt på endringen i x. Ta punktene (1, 2) og (4, 8).

1. Gi punktene navn. Kall (1, 2) det første punktet, så x₁ = 1 og y₁ = 2. Kall (4, 8) det andre punktet, så x₂ = 4 og y₂ = 8.
2. Finn endringen i y. Trekk fra y-verdiene: y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6. Linjen stiger 6 enheter.
3. Finn endringen i x. Trekk fra x-verdiene i samme rekkefølge: x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3. Linjen går 3 enheter mot høyre.
4. Del endringen i y på endringen i x. a = 6 : 3 = 2. Skriv det som en brøk først, 6/3, og forkort.
5. Sjekk fortegnet. Linjen stiger fra venstre mot høyre, så et positivt svar er rimelig.
6. Sjekk med et tredje punkt. Stigningstallet 2 betyr at ett steg mot høyre legger 2 til y, så (5, 10) skal ligge på linjen: (10 − 2) : (5 − 1) = 8 : 4 = 2.

Tegningen bruker bokstaven m, som engelske bøker; i en norsk lærebok står det a = 2.

Spill gratis i nettleserenLøs for x6. trinn+

Delen mange gjør feil: å trekke fra i ulik rekkefølge

Trekker du fra y-verdiene i én rekkefølge og x-verdiene i den andre, snur du fortegnet på svaret. For (1, 2) og (4, 8) gir den blandede utgaven (8 − 2) : (1 − 4) = 6 : (−3) = −2, som sier at linjen synker når den stiger.

Begge rekkefølgene virker hvis du holder den lik over og under brøkstreken. Starter du fra det andre punktet, får du (2 − 8) : (1 − 4) = −6 : (−3) = 2, det samme stigningstallet. Skriv begge subtraksjonene i én brøk før du regner, med det samme punktet først i hver.

Negative koordinater trenger parentes. For (−2, 5) og (3, −5) er stigningstallet (−5 − 5) : (3 − (−2)) = −10 : 5 = −2. Hvis det å trekke fra et negativt tall gjør deg usikker, dekker guiden om negative tall regelen.

Slik finner du stigningstallet fra en graf og fra en likning

Stigningstallet i en graf finner du ved å velge to punkter der linjen går gjennom hjørner i rutenettet, og telle. Tell rutene opp eller ned (endringen i y), tell rutene mot høyre (endringen i x), og del. En linje som synker 3 ruter mens den går 4 ruter mot høyre, har stigningstallet −3/4.

Stigningstallet fra en likning finner du raskest på formen y = ax + b. Common Core 8.EE.B.6 ber elevene «utlede likningen y = mx for en linje gjennom origo og likningen y = mx + b for en linje som skjærer den loddrette aksen i b», den samme likningen som norske bøker skriver y = ax + b. I y = 3x − 4 er stigningstallet 3, og linjen krysser y-aksen i −4.

Den raskeste metoden avhenger av hva du får oppgitt. To punkter krever formelen, en tegnet linje krever at du teller ruter, og en likning krever y = ax + b. En verditabell virker som to punkter: velg to vilkårlige rader.

Hva om likningen ikke står på formen y = ax + b?

En likning som 2x + 3y = 12 skjuler stigningstallet til du løser den for y. Trekk fra 2x på begge sider og få 3y = −2x + 12, og del så hvert ledd på 3: y = −2/3 x + 4. Stigningstallet er −2/3.

Den omformingen er den samme ferdigheten som å løse en likning steg for steg. Guiden om hvordan du løser likninger viser hvordan du opphever addisjon og divisjon på begge sider.

Stigningstall i virkeligheten: bakker, tak og rater

Stigningstall dukker opp overalt der noe endrer seg i et jevnt tempo. Et veiskilt som viser «8 %», betyr at veien stiger 8 m for hver 100 m vannrett avstand: stigningstallet 8/100, og stigningstallet × 100 = 8 %. OpenStax skriver at «stigningen til en vei er stigningstallet uttrykt i prosent», og guiden om prosentregning dekker omgjøringen.

Ramper for rullestol følger en regel for stigning. De amerikanske ADA-standardene fra 2010, avsnitt 405.2 sier at «ramper skal ha en stigning som ikke er brattere enn 1 : 12», altså 1 cm stigning for hver 12 cm vannrett avstand. Et trinn som er 30 cm høyt, krever derfor en rampe på minst 30 × 12 = 360 cm vannrett, altså 3,6 m.

Spill gratis i nettleserenProsent5. trinn+

Takvinkel og enhetsrater

Takvinkel kan skrives som et stigningstall. I Norge oppgis takvinkelen oftest i grader, men amerikanske bygg oppgir den som stigning per 12 tommer vannrett. OpenStax skriver at «takvinkelen på et bygg er stigningstallet til taket», og et tak på 6/12 stiger 6 tommer for hver 12 tommer bortover, et stigningstall på 6 : 12 = 1/2.

En enhetsrate i en graf er også et stigningstall. Common Core 8.EE.B.5 ber elevene «tegne grafen til proporsjonale sammenhenger og tolke enhetsraten som stigningstallet til grafen». Tjener du 900 kr på 6 timer, har linjen gjennom (0, 0) og (6, 900) stigningstallet 900 : 6 = 150, altså 150 kr per time.

Slik sjekker du framgangen med stigningstall

Fem korte spørsmål viser om du forstår stigningstall eller bare skriver av en formel. Prøv dem uten notater, og sjekk etterpå.

• To punkter: finn stigningstallet gjennom (2, 3) og (6, 11). Svaret er 8 : 4 = 2.
• Negative punkter: finn stigningstallet gjennom (−1, 4) og (3, −4). Svaret er −8 : 4 = −2.
• Likningen: finn stigningstallet og konstantleddet i y = −5x + 7. Stigningstallet er −5, og konstantleddet er 7.
• Det skjulte stigningstallet: finn stigningstallet til 4x + 2y = 10. Når du løser, får du y = −2x + 5, så stigningstallet er −2.
• Den flate og den loddrette: gi stigningstallet til y = 6 og til x = 6. Det første er 0, det andre er ikke definert.

En selvtest på ti minutter

En selvtest på ti minutter blander ett spørsmål fra hver kilde: to punkter, en graf og en likning. Si det forventede fortegnet høyt før du regner, og gi deg selv poeng for metoden og for svaret.

Riktig metode, men feil utregning, peker mot tallfaktaene, ikke mot algebraen. Common Core 8.F.B.4 venter at elevene finner endringsraten «fra to (x, y)-verdier, også når de leses fra en tabell eller en graf», og hvert av de stegene bygger på rask subtraksjon og divisjon med negative tall. Planen i hvordan du blir bedre i matte som voksen viser hvordan du bygger opp de faktaene i korte daglige økter.

Vanlige feil og spesialtilfeller med stigningstall

Fire feil står bak de fleste gale svarene, og hver av dem har en kort løsning.

• x-endring delt på y-endring: å dele 3 : 6 i stedet for 6 : 3 gir 1/2 i stedet for 2. Si «endring i y delt på endring i x», og sett y-verdiene øverst hver gang.
• Blandet rekkefølge i subtraksjonen: tar du y₂ − y₁ over brøkstreken, men x₁ − x₂ under, snur du fortegnet. Skriv begge subtraksjonene med det samme punktet først.
• Fortegnsfeil med negative tall: 3 − (−2) er 5, ikke 1. Sett parentes rundt hver negativ koordinat før du trekker fra.
• Å lese b som stigningstallet: i y = 4 + 3x er stigningstallet 3, tallet som står sammen med x. Skriv likningen om til y = 3x + 4 hvis rekkefølgen forvirrer deg.

Spesialtilfelle: en loddrett linje har ikke noe stigningstall

En loddrett linje har den samme x-verdien i hvert punkt, så endringen i x er 0, og formelen deler på null. For (3, 1) og (3, 6) ville stigningstallet blitt (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0, som ikke har noe svar.

Ikke definert er noe annet enn null. En vannrett linje gjennom (1, 4) og (5, 4) gir 0 : 4 = 0, et virkelig stigningstall som betyr «flat». En loddrett linje gir en divisjon med null, så stigningstallet finnes ikke, og likningen skrives x = 3 i stedet for y = ax + b.

Sjekklisten din for stigningstall og neste steg

• Fortegnet først: se på linjen og si om stigningstallet er positivt, negativt, null eller ikke definert.
• To punkter: bruk a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁) med det samme punktet først over og under brøkstreken.
• Parentes: sett parentes rundt hver negativ koordinat før du trekker fra.
• Forkort: skriv stigningstallet som en brøk, og forkort det, for eksempel 6/3 = 2.
• Likninger: løs for y til du får y = ax + b, og les av a.
• Kontroll: test et tredje punkt eller grafen for å bekrefte svaret.

Det gratis likningsspillet i nettleseren øver på likningsstegene bak y = ax + b, uten registrering. Voksne som bygger opp algebraen igjen, kan også prøve mattespillet for voksne.

MathIt er en gratis app for iOS og Android med rundt 90 spilltyper, adaptiv vanskegrad og en kort daglig øving som holder regningen bak stigningstall rask: negative tall, brøk og divisjon. Du kan også utfordre 1 til 4 venner i sanntidsdueller i matte, på hvilket som helst av 33 språk.