MathIt BlogDe richtingscoëfficiënt (helling) van een lijn vinden uit twee punten, een grafiek of een formule
Hoe bereken je de richtingscoëfficiënt van een lijn?
De richtingscoëfficiënt (rc) van een lijn is het verticale verschil gedeeld door het horizontale verschil. Uit twee punten: rc = (y2 − y1) : (x2 − x1), dus de punten (1, 2) en (4, 8) geven 6 : 3 = 2. In een grafiek tel je de hokjes omhoog en opzij tussen twee punten. In y = ax + b is de rc het getal a voor de x.
In het kort
- De richtingscoëfficiënt van een lijn is het verticale verschil gedeeld door het horizontale verschil, dus een lijn die 6 hokjes stijgt terwijl hij 3 hokjes naar rechts gaat, heeft een rc van 6 : 3 = 2.
- De formule voor twee punten is rc = (y2 − y1) : (x2 − x1), en de punten (1, 2) en (4, 8) geven (8 − 2) : (4 − 1) = 2.
- Bij een lijn met de formule y = ax + b is de richtingscoëfficiënt het getal a voor de x, dus y = 3x − 4 heeft een rc van 3 en snijdt de y-as in −4.
- Een lijn die van links naar rechts stijgt, heeft een positieve rc, een dalende lijn een negatieve, een horizontale lijn een rc van 0 en een verticale lijn heeft geen rc.
- Een hellingspercentage is de rc × 100, dus een weg die 8 meter stijgt over 100 meter horizontale afstand heeft een helling van 8%.
Een bord onderaan een heuvel waarschuwt voor "8%", en het huiswerk van je kind vraagt naar de richtingscoëfficiënt tussen twee punten in een rooster. Allebei gaan ze over dezelfde vraag, hoe steil is het, en het antwoord is hoeveel iets stijgt voor elke stap vooruit. De richtingscoëfficiënt berekenen vraagt één formule, één tekening en de gewoonte om in dezelfde volgorde af te trekken, en het werkt of je nu begint bij twee punten, een grafiek of een formule.
Wat de richtingscoëfficiënt betekent: omhoog gedeeld door opzij
De richtingscoëfficiënt is een getal dat zegt hoe steil een lijn is en welke kant hij op gaat. OpenStax Elementary Algebra 2e definieert het in één zin: "de helling van een lijn is de verhouding tussen de stijging en de horizontale afstand". De stijging is het verticale verschil, de horizontale afstand is het horizontale verschil, en de helling is verticaal verschil : horizontaal verschil. In Nederlandse methodes heet dat getal de richtingscoëfficiënt, kort rc, en in de onderbouw ook het hellingsgetal; Engelstalige boeken en de tekening hieronder gebruiken de letter m.
Een rc van 2 betekent dat de lijn 2 hokjes stijgt voor elk hokje naar rechts. Een rc van 1/2 stijgt 1 hokje voor elke 2 hokjes opzij, dus die is half zo steil. Omdat de rc een verhouding is, is de gids over verhoudingen goede achtergrond als breuken zoals 6/3 roestig voelen.
Helling staat centraal in de algebra van de onderbouw. De Amerikaanse Common Core-standaard 8.EE.B.6 vraagt leerlingen in grade 8, ongeveer de tweede klas, om "met gelijkvormige driehoeken uit te leggen waarom de helling m tussen elke twee punten op een niet-verticale lijn gelijk is". Die zin is de reden dat elke twee punten op een lijn hetzelfde antwoord geven. In Nederland noemen de conceptkerndoelen rekenen en wiskunde van SLO voor de onderbouw van het voortgezet onderwijs het "weergeven van patronen en verbanden in een beschrijving, tabel, grafiek en formule", en voor havo-vwo ook het "beschrijven van het veranderingsgedrag van een functie".
Positieve, negatieve, nul en geen richtingscoëfficiënt
Er zijn vier soorten helling, en de richting van de lijn vertelt je welke je hebt voordat je iets uitrekent. OpenStax zegt het helder: een lijn die omhoog gaat als je van links naar rechts leest, "heeft een positieve helling", en een lijn die omlaag gaat "heeft een negatieve helling".
Een horizontale lijn stijgt niet, dus zijn rc is 0. Een verticale lijn gaat niet opzij, en OpenStax stelt dat "de helling van een verticale lijn, x = a, niet gedefinieerd is". Eerst hardop het teken zeggen ("deze lijn daalt, dus het antwoord is negatief") vangt later de meeste tekenfouten op.
Elke soort helling beschrijft een andere echte situatie, van loon per uur tot een muur.
| Soort helling | De lijn gaat | Voorbeeldpunten | Voorbeeldformule | Voorbeeld uit het leven |
|---|---|---|---|---|
| Positief | Omhoog van links naar rechts | (1, 2) en (4, 8): rc 2 | y = 2x | Loon dat groeit met elk gewerkt uur |
| Negatief | Omlaag van links naar rechts | (0, 6) en (3, 0): rc −2 | y = −2x + 6 | Een telefoonbatterij die leegloopt |
| Nul | Vlak | (1, 4) en (5, 4): rc 0 | y = 4 | Een vast maandbedrag dat niet verandert |
| Geen rc | Recht omhoog en omlaag | (3, 1) en (3, 6): horizontaal verschil 0 | x = 3 | Een muur, die je niet op kunt lopen |
De richtingscoëfficiënt berekenen uit twee punten, stap voor stap
De formule voor twee punten is rc = (y2 − y1) : (x2 − x1): het verschil in y gedeeld door het verschil in x. Neem de punten (1, 2) en (4, 8).
- Benoem de punten. Noem (1, 2) het eerste punt, dus x1 = 1 en y1 = 2. Noem (4, 8) het tweede punt, dus x2 = 4 en y2 = 8.
- Bereken het verticale verschil. Trek de y-waarden af: y2 − y1 = 8 − 2 = 6. De lijn stijgt 6 hokjes.
- Bereken het horizontale verschil. Trek de x-waarden in dezelfde volgorde af: x2 − x1 = 4 − 1 = 3. De lijn gaat 3 hokjes naar rechts.
- Deel verticaal door horizontaal. rc = 6 : 3 = 2. Schrijf het eerst als breuk, 6/3, en vereenvoudig.
- Controleer het teken. De lijn stijgt van links naar rechts, dus een positief antwoord klopt.
- Controleer met een derde punt. Een rc van 2 betekent dat één stap naar rechts 2 bij y optelt, dus (5, 10) moet op de lijn liggen: (10 − 2) : (5 − 1) = 8 : 4 = 2.
Waar het misgaat: in verschillende volgorde aftrekken
De y-waarden in de ene volgorde aftrekken en de x-waarden in de andere draait het teken van het antwoord om. Voor (1, 2) en (4, 8) geeft de gemengde versie (8 − 2) : (1 − 4) = 6 : (−3) = −2, en dat zegt dat de lijn daalt terwijl hij stijgt.
Beide volgordes werken als je ze boven en onder hetzelfde houdt. Beginnen bij het tweede punt geeft (2 − 8) : (1 − 4) = −6 : (−3) = 2, dezelfde rc. Schrijf beide aftrekkingen in één breuk voordat je rekent, met hetzelfde punt steeds voorop.
Negatieve coördinaten vragen om haakjes. Voor (−2, 5) en (3, −5) is de rc (−5 − 5) : (3 − (−2)) = −10 : 5 = −2. Struikel je over het aftrekken van een negatief getal, dan behandelt de gids over negatieve getallen de regel.
De richtingscoëfficiënt aflezen uit een grafiek en uit een formule
De rc in een grafiek vind je door twee punten te kiezen waar de lijn precies door een roosterhoek gaat en te tellen. Tel de hokjes omhoog of omlaag (het verticale verschil), tel de hokjes naar rechts (het horizontale verschil) en deel. Een lijn die 3 hokjes daalt terwijl hij 4 hokjes naar rechts gaat, heeft een rc van −3/4.
Uit een formule gaat het het snelst in de vorm y = ax + b. Common Core 8.EE.B.6 vraagt leerlingen "de vergelijking y = mx af te leiden voor een lijn door de oorsprong en y = mx + b voor een lijn die de verticale as in b snijdt"; in Nederland schrijf je dat als y = ax + b. In y = 3x − 4 is de rc 3 en snijdt de lijn de y-as in −4.
De snelste methode hangt af van wat je krijgt. Twee punten vragen om de formule, een getekende lijn om hokjes tellen en een formule om y = ax + b. Een tabel werkt als twee punten: kies twee willekeurige kolommen.
Wat als de formule niet in de vorm y = ax + b staat?
Een vergelijking zoals 2x + 3y = 12 verstopt haar rc tot je hem herleidt naar y. Trek aan beide kanten 2x af en je krijgt 3y = −2x + 12, deel dan elke term door 3: y = −2/3 x + 4. De rc is −2/3.
Dat herleiden is dezelfde vaardigheid als een vergelijking oplossen, stap voor stap. De gids over vergelijkingen oplossen laat zien hoe je optellen en delen aan beide kanten terugdraait.
Helling in het dagelijks leven: wegen, daken en tempo
Helling duikt op overal waar iets in een vast tempo verandert. Een verkeersbord met "8%" betekent dat de weg 8 meter stijgt voor elke 100 meter horizontale afstand: een rc van 8/100, en rc × 100 = 8%. OpenStax zegt dat "het stijgingspercentage van een weg de helling is, uitgedrukt als percentage", en de gids over procenten behandelt het omrekenen.
Rolstoelhellingen volgen een hellingsregel. De Amerikaanse ADA-normen van 2010, artikel 405.2 zeggen dat hellingbanen "niet steiler mogen zijn dan 1:12", dus 1 centimeter stijging voor elke 12 centimeter horizontale afstand. Een opstap van 30 cm hoog vraagt dan minstens 30 × 12 = 360 cm hellingbaan, dat is 3,6 meter.
Gratis spelen in je browserProcentenGroep 7+Dakhelling en tempo per eenheid
In Nederland geef je een dakhelling meestal in graden, maar in de VS schrijven ze die als stijging per 12 inch opzij. OpenStax merkt op dat "de 'pitch' van een dak de helling van het dak is", en een dak van 6/12 stijgt 6 inch voor elke 12 inch opzij, een rc van 6 : 12 = 1/2.
Een tempo per eenheid in een grafiek is ook een rc. Common Core 8.EE.B.5 vraagt leerlingen "evenredige verbanden in een grafiek te tekenen en het tempo per eenheid te zien als de helling van de grafiek". Verdien je € 90 voor 6 uur werk, dan heeft de lijn door (0, 0) en (6, 90) een rc van 90 : 6 = 15, en dat is € 15 per uur.
Zo controleer je je vooruitgang met de richtingscoëfficiënt
Vijf korte vragen laten zien of je de rc begrijpt of een formule overschrijft. Probeer ze zonder aantekeningen en controleer dan.
- Twee punten: bereken de rc door (2, 3) en (6, 11). Het antwoord is 8 : 4 = 2.
- Negatieve punten: bereken de rc door (−1, 4) en (3, −4). Het antwoord is −8 : 4 = −2.
- De formule: noem de rc en het startgetal van y = −5x + 7. De rc is −5 en het startgetal is 7.
- De verstopte rc: bereken de rc van 4x + 2y = 10. Herleiden geeft y = −2x + 5, dus de rc is −2.
- Vlak en verticaal: geef de rc van y = 6 en van x = 6. De eerste is 0, de tweede bestaat niet.
Een zelftoets van tien minuten
Een zelftoets van tien minuten mengt één vraag van elke soort: twee punten, een grafiek en een formule. Zeg vóór het rekenen hardop welk teken je verwacht, en beoordeel jezelf op de aanpak en op het antwoord.
Is de aanpak goed maar het rekenwerk fout, dan ligt het aan de rekenfeiten, niet aan de algebra. Common Core 8.F.B.4 verwacht dat leerlingen de mate van verandering vinden "uit twee (x, y)-waarden, ook als ze die uit een tabel of een grafiek moeten aflezen", en elke stap daarvan leunt op vlot aftrekken en delen met negatieve getallen. Het plan in beter worden in wiskunde als volwassene laat zien hoe je die feiten in korte dagelijkse sessies weer opbouwt.
Veelgemaakte fouten en randgevallen met de richtingscoëfficiënt
Vier fouten veroorzaken de meeste foute antwoorden, en elke fout heeft een korte oplossing.
- Opzij gedeeld door omhoog: 3 : 6 rekenen in plaats van 6 : 3 geeft 1/2 in plaats van 2. Zeg "verticaal gedeeld door horizontaal" en zet de y-waarden altijd boven.
- Gemengde volgorde van aftrekken: boven y2 − y1 en onder x1 − x2 nemen draait het teken om. Schrijf beide aftrekkingen met hetzelfde punt voorop.
- Tekenfouten met negatieve getallen: 3 − (−2) is 5, niet 1. Zet haakjes om elke negatieve coördinaat voordat je aftrekt.
- b voor de rc aanzien: in y = 4 + 3x is de rc 3, het getal bij de x. Herschrijf de formule als y = 3x + 4 als de volgorde je in de war brengt.
Randgeval: een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt
Een verticale lijn heeft in elk punt dezelfde x-waarde, dus het horizontale verschil is 0 en de formule deelt door nul. Voor (3, 1) en (3, 6) zou de rc (6 − 1) : (3 − 3) = 5 : 0 zijn, en dat heeft geen antwoord.
Geen rc is iets anders dan een rc van nul. Een horizontale lijn door (1, 4) en (5, 4) geeft 0 : 4 = 0, een echte rc die "vlak" betekent. Een verticale lijn geeft een deling door nul, dus de rc bestaat niet, en de formule van die lijn schrijf je als x = 3 in plaats van y = ax + b.
Je checklist voor de richtingscoëfficiënt en de volgende stappen
- Eerst het teken: kijk naar de lijn en zeg of de rc positief, negatief, nul of afwezig is.
- Twee punten: gebruik rc = (y2 − y1) : (x2 − x1) met boven en onder hetzelfde punt voorop.
- Haakjes: zet haakjes om elke negatieve coördinaat voordat je aftrekt.
- Vereenvoudig: schrijf de rc als breuk en vereenvoudig, zoals 6/3 = 2.
- Formules: herleid naar y = ax + b en lees a af.
- Controle: test een derde punt of de grafiek om het antwoord te bevestigen.
Het gratis spel vergelijkingen oplossen in de browser oefent de stappen achter y = ax + b, zonder account. Volwassenen die hun algebra weer opbouwen, kunnen ook het rekenspel voor volwassenen proberen.
Oefen het in de MathIt-app
Ongeveer 90 soorten rekenspellen met meegroeiende moeilijkheid, dagelijkse oefening en duels met 2 tot 5 spelers — gratis voor iOS en Android.
MathIt is een gratis app voor iOS en Android met ongeveer 90 speltypen, een moeilijkheid die zich aanpast en korte dagelijkse oefening die het rekenwerk achter de richtingscoëfficiënt vlot houdt: negatieve getallen, breuken en delen. Je kunt ook 1 tot 4 vrienden uitdagen in rekenduels in realtime, in een van 33 talen.
Veelgestelde vragen
Wat is de richtingscoëfficiënt?
De richtingscoëfficiënt is een getal dat aangeeft hoe steil een lijn is en welke kant hij op gaat. Hij is gelijk aan het verticale verschil gedeeld door het horizontale verschil tussen twee punten op de lijn. Een rc van 2 betekent dat de lijn 2 omhoog gaat voor elke stap van 1 naar rechts. In de onderbouw heet hij ook hellingsgetal.
Wat betekenen a en b in y = ax + b?
In de formule y = ax + b is a de richtingscoëfficiënt en is b het startgetal, de y-waarde waar de lijn de y-as snijdt. In y = 2x + 5 is de rc 2 en snijdt de lijn de y-as in 5. In Engelstalige boeken staat dezelfde formule als y = mx + b, met m voor de helling.
Wat betekent een negatieve richtingscoëfficiënt?
Een negatieve richtingscoëfficiënt betekent dat de lijn daalt als je hem van links naar rechts leest. Een rc van −2 betekent dat y met 2 daalt voor elke 1 dat x toeneemt. In het dagelijks leven beschrijft een negatieve rc iets dat in de loop van de tijd afneemt, zoals de batterij van een telefoon die vanaf 100% leegloopt.
Wat is de richtingscoëfficiënt van een horizontale en een verticale lijn?
De richtingscoëfficiënt van een horizontale lijn is 0, en een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt. Een horizontale lijn stijgt niet, dus de rc is 0 : horizontaal verschil = 0. Een verticale lijn gaat niet opzij, dus de formule vraagt je door nul te delen, en dat heeft geen antwoord.
Hoe bereken je de richtingscoëfficiënt met twee punten?
De richtingscoëfficiënt met twee punten bereken je door de y-waarden van elkaar af te trekken, de x-waarden in dezelfde volgorde af te trekken en te delen: rc = (y2 − y1) : (x2 − x1). Voor de punten (2, 3) en (6, 11) is de rc (11 − 3) : (6 − 2) = 8 : 4 = 2.
