Qu'est-ce qu'un quotient ? Le nom de chaque résultat en maths, expliqué

La fiche de votre enfant demande « calcule le quotient de 56 par 8 », et vous ne savez plus s'il faut multiplier ou diviser. Qu'est-ce qu'un quotient, et en quoi est-il différent d'un produit, d'une somme ou d'une différence ? Chacun de ces mots des devoirs désigne le résultat d'une opération, donc une fois les quatre connus, la plupart des consignes se transforment en une courte égalité.

Qu'est-ce qu'un quotient ?

Le quotient est le résultat que l'on obtient en divisant un nombre par un autre. Dans 20 : 4 = 5, le quotient est 5. OpenStax Prealgebra le dit simplement : « le mot quotient nous dit de diviser ».

La même division s'écrit de plusieurs façons : 20 : 4 avec le signe de l'école, 20 ÷ 4 avec celui des calculatrices, 20/4 sous forme de fraction, ou posée avec la potence. Toutes donnent le quotient 5, et dans la forme fraction, le dividende est en haut et le diviseur en bas.

Dividende, diviseur et reste

Le dividende est le nombre que l'on divise, et le diviseur est le nombre par lequel on divise. Dans 20 : 4 = 5, le dividende est 20, le diviseur est 4 et le quotient est 5.

Quand les nombres ne se divisent pas exactement, il reste quelque chose, et cette quantité est le reste. Partagez 23 biscuits sur 4 assiettes : chaque assiette en reçoit 5, ce qui utilise 4 × 5 = 20 biscuits, et il en reste 3. Le quotient est 5 et le reste est 3, car 23 = 4 × 5 + 3. En France, on appelle cela la division euclidienne.

Le standard américain Common Core 4.NBT.B.6 demande aux élèves de grade 4, l'équivalent du CM1, de « trouver des quotients et des restes entiers avec des dividendes jusqu'à quatre chiffres et des diviseurs à un chiffre ». En France, le programme de mathématiques du cycle 3 demande dès le CM1 de « poser et effectuer des divisions euclidiennes avec un diviseur à un chiffre ». Le guide pour enseigner la division posée montre la méthode écrite pour les plus grands nombres.

Pourquoi le vocabulaire des maths compte dans les devoirs

Le vocabulaire des maths compte parce que les mots indiquent quelle opération faire et dans quel ordre. Un enfant qui lit « le quotient de 56 par 8 » comme une multiplication obtient 448 au lieu de 7, avec pourtant chaque étape de calcul juste.

Ces mots arrivent aussi très tôt.

Le standard 3.OA.A.2 demande en grade 3, l'équivalent du CE2, d'« interpréter des quotients entiers de nombres entiers », comme 56 : 8 vu comme la taille de chaque part quand on partage 56 objets en 8 parts égales. En grade 6, le standard 6.EE.A.2b attend des élèves qu'ils sachent « identifier les parties d'une expression avec les termes mathématiques (somme, terme, produit, facteur, quotient, coefficient) ». En France, le programme de mathématiques du cycle 4 demande en 5e de « nommer un calcul, distinguer sommes et produits, termes et facteurs », puis en 4e d'« utiliser le vocabulaire (somme, quotient, etc.) » dans un programme de calcul. Le tour d'horizon de ce que votre enfant doit savoir en maths à chaque niveau replace ces compétences dans leur contexte.

Pourquoi les listes de mots-clés trompent

Les listes de mots-clés du type « plus veut dire additionner » et « reste veut dire soustraire » ne tiennent pas face aux vrais problèmes. « Léa a 12 autocollants, soit 4 de plus que Sam. Combien Sam en a-t-il ? » contient « de plus », et pourtant la réponse est 12 − 4 = 8.

Les mots du résultat sont d'une autre nature. « Somme », « différence », « produit » et « quotient » désignent chacun toujours la même opération, alors que les mots d'un énoncé dépendent de la situation. Le guide du What Works Clearinghouse sur la résolution de problèmes recommande aux enseignants d'« aider les élèves à reconnaître et à formuler les notions et les notations mathématiques », et le guide pour résoudre les problèmes de maths montre comment raisonner sur l'histoire plutôt que sur les mots.

Comment lire une consigne de maths, étape par étape

Une consigne de maths se transforme en égalité en cinq étapes, et le mot du résultat fait l'essentiel du travail.

1. Trouvez le mot du résultat. Entourez somme, différence, produit ou quotient. Chacun désigne une opération : additionner, soustraire, multiplier ou diviser.
2. Repérez les deux nombres. Cherchez les petits mots « de », « et » et « par » : dans « le quotient de 56 par 8 », les nombres sont 56 et 8.
3. Gardez les nombres dans l'ordre de la phrase. Le premier nombre cité vient en premier dans l'égalité, donc le quotient de 56 par 8 est 56 : 8, jamais 8 : 56.
4. Écrivez l'égalité avant de calculer. 56 : 8 = ? sur le papier montre à l'enseignant, et à vous, que la consigne a été bien lue.
5. Calculez et vérifiez avec l'opération inverse. 56 : 8 = 7, et 8 × 7 = 56 le confirme. Une différence se vérifie de la même façon : 12 − 4 = 8, car 8 + 4 = 12.

Quand l'ordre compte et quand il ne compte pas

L'ordre compte pour une différence et pour un quotient, et il ne compte pas pour une somme ou un produit. La somme de 8 et 4 vaut 12 dans les deux sens, et le produit de 6 par 4 vaut 24 dans les deux sens.

La différence de 12 et 4 vaut 12 − 4 = 8, alors que 4 − 12 donne −8. OpenStax note que dans « la différence de 13 et 8 », les nombres « restent dans le même ordre que dans la phrase », et prévient que « soustraire 24 de 43 » les inverse en 43 − 24.

Somme, différence, produit et quotient comparés

Somme, différence, produit et quotient sont les quatre mots du résultat, et chaque opération a aussi des noms pour les nombres de départ. Une somme vient de termes, une différence aussi de termes, un produit de facteurs, et un quotient d'un dividende et d'un diviseur.

Une même famille de calculs, quatre noms

Une même famille de calculs montre les quatre mots avec les mêmes petits nombres. Dans 8 + 4 = 12, la somme est 12 ; dans 12 − 4 = 8, la différence est 8 ; dans 6 × 4 = 24, le produit est 24 ; et dans 24 : 4 = 6, le quotient est 6.

La division et la multiplication vont ensemble, donc un enfant qui sait que 6 × 4 = 24 sait aussi que 24 : 4 = 6. Connaître vite ses tables de multiplication accélère chaque quotient d'une fiche.

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D'autres mots de maths que les enfants rencontrent

Les enfants rencontrent quelques autres mots de maths entre le CE1 et la 6e, et un exemple pour chacun suffit en général à fixer le sens.

• Facteur : un nombre qui, multiplié, en donne un autre. 3 et 4 sont des facteurs de 12, car 3 × 4 = 12.
• Multiple : le produit d'un nombre par un nombre entier. 12, 16 et 20 sont des multiples de 4.
• Nombre premier : un nombre supérieur à 1 qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même, comme 7. Le standard 4.OA.B.4 demande de dire si un nombre jusqu'à 100 « est premier ou composé ».
• Chiffre et nombre : 347 est un seul nombre écrit avec trois chiffres, 3, 4 et 7.
• Numérateur et dénominateur : dans 3/4, 3 est le numérateur et 4 le dénominateur, et 3/4 est aussi le quotient de 3 par 4, comme le dit le programme de 6e.
• Égalité et expression : une égalité a un signe égal, comme 24 : 4 = 6, et une expression n'en a pas, comme 24 : 4 ou 2 × (8 + 7).

Le guide sur le PGCD et le PPCM s'appuie sur facteur et multiple, les deux mots que les enfants confondent le plus.

Au collège, les élèves doivent nommer les parties d'une expression. L'exemple du Common Core décrit 2 × (8 + 7) comme « un produit de deux facteurs », où (8 + 7) est à la fois un facteur et une somme. Le guide sur les priorités opératoires explique comment calculer des expressions qui contiennent plusieurs opérations.

Comment vérifier que votre enfant connaît les mots

Cinq vérifications rapides montrent si le vocabulaire est acquis, et chacune prend moins d'une minute.

• Le redire : demandez « qu'est-ce qu'un quotient ? ». La réponse à attendre est « le résultat d'une division ».
• Des mots à l'égalité : dites « le produit de 7 par 3 ». Votre enfant doit écrire 7 × 3 = 21.
• Le test de l'ordre : demandez la différence de 15 et 9. La réponse est 6, avec 15 − 9.
• Nommer les éléments : montrez 30 : 5 = 6 et demandez quel nombre est le dividende. La réponse est 30.
• Le reste : demandez la division euclidienne de 17 par 5. La réponse est un quotient de 3 et un reste de 2.

Un test de vocabulaire de deux minutes avec quatre consignes variées, une par mot du résultat, en dit plus qu'une page de calculs simples. Lisez chaque consigne à voix haute et demandez à votre enfant d'écrire l'égalité avant de calculer.

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Les erreurs fréquentes avec le quotient et les autres mots du résultat

Quatre erreurs causent la plupart des points perdus aux questions de vocabulaire, et chacune a une correction rapide.

• Appeler chaque résultat un produit : certains enfants disent « produit » pour n'importe quel résultat. Un produit est seulement le résultat d'une multiplication, donc 9 + 3 = 12 donne une somme de 12.
• Lire différence comme « ce qui les distingue » : « Quelle est la différence entre 9 et 4 ? » ne demande pas une description. La différence vaut 9 − 4 = 5.
• Inverser l'ordre dans un quotient : « le quotient de 3 par 12 » vaut 3 : 12 = 1/4, et écrire 12 : 3 = 4 répond à une autre question. Gardez le premier nombre cité comme dividende.
• Écrire le reste après la virgule : 23 divisé par 4 donne 5, reste 3, et 5,3 est faux. Sous forme décimale, le résultat est 5,75, car les 3 qui restent sur 4 font 3/4 = 0,75.

Cas limite : un quotient plus petit que 1

Un quotient est plus petit que 1 chaque fois que le dividende est plus petit que le diviseur. Partager 3 pizzas entre 12 personnes donne à chacune 3 : 12 = 1/4 de pizza.

Les enfants qui n'ont vu que la division de nombres entiers disent souvent « on ne peut pas ». Le quotient est une fraction, et le guide pour expliquer les fractions à votre enfant montre pourquoi 3/4 et 3 : 4 sont le même nombre.

Votre pense-bête du vocabulaire des maths et la suite

• Somme : le résultat d'une addition, 8 + 4 = 12.
• Différence : le résultat d'une soustraction, premier nombre moins le second, 12 − 4 = 8.
• Produit : le résultat d'une multiplication, 6 × 4 = 24.
• Quotient : le résultat d'une division, dividende : diviseur, 24 : 4 = 6.
• Reste : ce qui reste après les groupes égaux, 23 = 4 × 5 + 3.
• L'ordre : gardez l'ordre de la phrase pour une différence et un quotient.

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